Problem G. 664. (February 2019)

G. 664. In which case are we closer to the Sun on the same day of the year: at new-moon or at full-moon? Estimate the difference between the distances at the two cases?

(4 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A Föld–Hold rendszer tömegközéppontja ellipszis alakú pályán kering a Nap körül, emiatt a Naptól mért távolsága az év során egy kicsit változik, de az év meghatározott napján mindig ugyanakkora érték (\(\displaystyle d=\) 1 CSE, vagyis kb. 150 millió km). Újholdkor a Hold (ami a Földtől kb. \(\displaystyle r=384\,500\) távol van) a Földnek a Nap felőli oldalán, teliholdkor a Nappal ellentétes oldalon található. Ha \(\displaystyle x\) a Nap–Föld távolság eltérése \(\displaystyle d\)-től, akkor újholdkor a tömegközéppontra felírható feltétel:

\(\displaystyle M(d+x)+m(d-r+x)=(M+m)d\)

(ahol \(\displaystyle M\) a Föld tömege, \(\displaystyle m\) pedig a Hold tömege). Innen

\(\displaystyle x=\frac{m}{m+M}r=\frac{1}{82}\cdot 385\,500~\rm km\approx 4700~\rm km.\)

Teliholdkor a Nap–Föld távolság \(\displaystyle x\)-szel kisebb, mint \(\displaystyle d\), így a kétféle távolság különbsége \(\displaystyle 2x\approx 9400\) km, ennyivel vagyunk távolabb a Naptól újholdkor, mint teliholdkor.

Megjegyzés. A földpálya excentricitása \(\displaystyle \varepsilon=0{,}017\), emiatt a Nap–Föld távolság legnagyobb és legkisebb értéke közötti különbség

\(\displaystyle \Delta=(1+\varepsilon)d-(1-\varepsilon)d=2\cdot 0{,}017~{\rm CSE}\approx5~\text{millió km},\)

ami kb. ezerszer nagyobb, mint a Hold mozgása által okozott ingadozás.

Statistics:

36 students sent a solution.
4 points:	Gál Attila Péter, Hegyi Bálint, Horváth Antal, Hruby Lili, Juhász Márk Hunor, Kis-Bogdán Kolos, Koleszár Benedek, Láng Erik, Markó Péter , Menyhárt Tamás, Nagy Zalán, Papp Marcell Miklós, Papp Viktória, Reich Melinda, Somlán Gellért, Szántó Barnabás, Téglás Panna, Thierry Armand, Virág Levente.
3 points:	Török 517 Mihály.
2 points:	1 student.
1 point:	12 students.
0 point:	3 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2019