Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem G. 681. (October 2019)

G. 681. An artefact made of pure gold was found and dug out in good condition during an excavation at an archaeological site. The 2 litre cylinder-shaped artefact has thin uniform walls, and has no top base. The inner diameter and the inner height of the cylinder are equal.

When the empty cylinder is carefully placed into water such that its symmetry axis is vertical all the time, then it reaches an equilibrium position when the level of the water outside is at \(\displaystyle \frac58\)-th of the inner height of the cylinder. Determine the width of the wall of the artefact.

(3 pont)

Deadline expired on November 11, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle R\) sugarú és \(\displaystyle 2R\) magasságú henger térfogata

\(\displaystyle V=R^2\pi\cdot 2R=2~{\rm dm}^3,\)

ahonnan

\(\displaystyle R=\sqrt[3]{ \frac{1}{\pi}}~{\rm dm}\approx 6{,}8~{\rm cm}.\)

Ha az edény \(\displaystyle d\) falvastagsága sokkal kisebb \(\displaystyle R\)-nél, akkor a kiszorított víz súlya közelítőleg így számítható:

\(\displaystyle G_\text{víz}=\frac{5R}{4}R^2\pi\,\varrho_\text{víz}g,\)

az edény súlya pedig közelítőleg

\(\displaystyle G_\text{edény}=\left(R^2\pi\cdot d+2R\cdot 2R\pi\cdot d\right)\varrho_\text{arany}g.\)

Arkhimédész törvénye szerint \(\displaystyle G_\text{edény}=G_\text{víz}\). Tudjuk továbbá, hogy \(\displaystyle \varrho_\text{arany}\approx 19{,}3\,\varrho_\text{víz}\). Innen következik, hogy

\(\displaystyle d=\frac{R}{4\cdot 19{,}3}\approx 0{,}88~\rm mm.\)

Megjegyzés. Ha nem használjuk ki a feladat szövegében csak utalásként szereplő \(\displaystyle d\ll R\) feltételt, hanem az edény térfogatát is és a kiszorított víz térfogatát is ,,pontosan'' számoljuk, akkor az \(\displaystyle x=d/R\) arányszámra az

\(\displaystyle \left(\frac54+x\right)(1+x)^2 = 19{,}3 \left[ x(1+x)^2+2x(2+x)\right]\)

harmadfokú egyenletet kapjuk. Ennek megoldása (valós gyöke): \(\displaystyle x\approx0{,}0133\), vagyis \(\displaystyle d\approx 0{,}91~\rm mm,\) ami alig tér el a fentebbi közelítő számolás eredményétől.


Statistics:

46 students sent a solution.
3 points:Bacsó Dániel, Helyes András, Jeszenői Sára, Kaltenecker Balázs Bence, Kovács Kinga, Lőrinczi Gergő, Malatinszki Hanna, Molnár Kristóf, Rózsa Félix, Sárvári Borka Luca, Schmercz Blanka, Szabó Réka, Szirmai Dénes, Tatai Ottó, Vanya Zsuzsanna, Veszprémi Rebeka Barbara.
2 points:Árvai Tímea, Bognár 171 András Károly, Dózsa Levente, Egyházi Hanna, Francois Lilien, Gábriel Tamás, Halmos Balázs Paszkál, Koczkás Árpád, Kohut Márk Balázs, Koleszár Benedek, Köpenczei Csanád, Láng Erik, Mezey Dorottya, Papp Marcell Miklós, Richlik Bence, Sallai Anita, Sallai Péter, Szécsi Ákos.
1 point:7 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, October 2019