Problem G. 683. (October 2019)

G. 683. We have two alike (red) resistors and also two alike (blue) resistors. In which connection will the equivalent resistance of the resistors be greater, if

\(\displaystyle a)\) the two red resistors and the two blue resistors are connected in series, and then these are connected in parallel;

\(\displaystyle b)\) the series connections of a red and a blue resistor are connected in parallel?

(4 pont)

Deadline expired on November 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a piros ellenállás értékét \(\displaystyle x\)-szel, a kékét pedig \(\displaystyle y\)-nal! Az \(\displaystyle a)\) esetben \(\displaystyle 2x\) és \(\displaystyle 2y\) párhuzamos eredőjét kapjuk:

\(\displaystyle R_a=\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\right)^{-1}=\frac{2xy}{x+y},\)

a \(\displaystyle b)\) esetben pedig két egyforma, \(\displaystyle x+y\) nagyságú ellenállás párhuzamos eredőjét:

\(\displaystyle R_b=\frac{x+y}{2}.\)

Könnyen beláthatjuk, hogy \(\displaystyle R_a\le R_b\), hiszen

\(\displaystyle \frac{R_a}{R_b}=\frac{xy}{\left(\frac{x+y}{2}\right)^2},\)

ami a számtani- és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenség miatt 1-nél kisebb, vagy \(\displaystyle x=y\) esetben éppen 1-gyel egyenlő. Ugyanezt így is beláthatjuk:

\(\displaystyle R_b-R_a=\frac{x+y}{2}-\frac{2xy}{x+y}= \frac{(x+y)^2-4xy}{2(x+y)} =\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}\ge 0,\)

hiszen \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitív értékűek.

Statistics:

74 students sent a solution.
4 points:	Bacsó Dániel, Bana Marcell, Bognár 171 András Károly, Buzási-Temesi Imre, Csordás Kevin, Czirók Tamás, Egyházi Hanna, Fehér Anna, Ferencz Kamilla, Francois Lilien, Halmos Balázs Paszkál, Harkai Gyula, Helyes András, Jeszenői Sára, Juhász Júlia, Kinyó András, Klepáček László, Koczkás Árpád, Kohut Márk Balázs, Kovács Alex, Kovács Kinga, Köpenczei Csanád, Kuremszki Bálint, Merza Roland, Molnár Kristóf, Papp Marcell Miklós, Pleva Levente, Richlik Bence, Schmercz Blanka, Schneider Dávid, Sebestyén József Tas, Szabó Réka, Szirmai Dénes, Szőllősi Gergely, Vanya Zsuzsanna, Várkonyi Gáspár, Veszprémi Rebeka Barbara.
3 points:	Dobre Zsombor, Gábriel Tamás, Király Előd István, Koleszár Benedek, Láng Erik, Malatinszki Hanna, Rózsa Félix, Sándor Dominik, Sárvári Borka Luca, Stein Felix, Szanyi Attila, Szécsi Ákos.
2 points:	6 students.
1 point:	10 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, October 2019