Problem G. 688. (November 2019)

G. 688. Some time ago in the movies filmstrips, similar to the ones in children's tale film projectors, were used, just the movie filmstrips were much longer. The length of the filmstrip of a one-minute film was 27 metres. The films were wound on reels, which had a radius of 5.5 cm, and the width of the film roll on it was 12.5 cm. When a film was projected, the film was wound off the reel, called the feed reel, and wound on another reel, called the takeup reel.

\(\displaystyle a)\) What was the number of revolution of the feed reel at the beginning and at the end of the projection of the film?

\(\displaystyle b)\) After the projection the film was wound back from the takeup reel to the feed reel. What was the number of revolution of the takeup reel at the beginning and at the end of the re-wound process if the feed reel was rotated at constant 3 revolutions per second for all the time?

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) 1 másodpercnyi film \(\displaystyle L=\frac{27}{60}~\rm m=45~\rm cm\) hosszú filmszalagra fér rá. A tárolóorsón a filmszalag egy-egy menetének hossza a teli orsónál

\(\displaystyle K_1=2\pi(5{,}5+12{,}5) ~{\rm cm}\approx 113 ~{\rm cm},\)

a majdnem üres orsónál pedig a kerület

\(\displaystyle K_2=2\pi\,5{,}5 ~{\rm cm}\approx 34{,}5~{\rm cm}.\)

Mivel másodpercenként 45 cm-nyi filmnek kell letekerednie az orsóról, az orsó fordultszáma a vetítés elején

\(\displaystyle f_1=\frac{45~\rm cm/s } {113~\rm cm}\approx 0{,}40~\frac{\text{fordulat}}{\text{másodperc}},\)

a vetítés végén pedig

\(\displaystyle f_1=\frac{45~\rm cm/s } {34{,}5~\rm cm}\approx 1{,}30~\frac{\text{fordulat}}{\text{másodperc}}.\)

A vetítés végén az orsó fordulatszáma \(\displaystyle N=3{,}27\)-szer nagyobb, mint a vetítés elején. Ez az arányszám a teli és a kiürült orsó sugarának aránya.

\(\displaystyle b)\) A segédorsóról másodpercenként ugyanolyan hosszú filmnek kell letekerednie, mint amennyi a tartóorsóra feltekeredik. Ha a tartóorsó fordulatszáma másodpercenként 3, akkor a segédorsó fordulatszáma a visszatekercselés elején \(\displaystyle N\)-szer kisebb, a végén pedig \(\displaystyle N\)-szer nagyobb 3-nál:

\(\displaystyle f_\text{elejénél}=\frac{3}{3{,}27}\,\frac{\text{fordulat}}{\text{másodperc}}=0{,}92~\frac{\text{fordulat}}{\text{másodperc}},\)

illetve

\(\displaystyle f_\text{végénél}= {3}\cdot {3{,}27}~\frac{\text{fordulat}}{\text{másodperc}}=9{,}8~\frac{\text{fordulat}}{\text{másodperc}}.\)

Statistics:

51 students sent a solution.
4 points:	Bacsó Dániel, Bognár 171 András Károly, Buzási-Temesi Imre, Csordás Kevin, Cynolter Dorottya, Dózsa Levente, Egyházi Hanna, Francois Lilien, Halmos Balázs Paszkál, Harkai Gyula, Helyes András, Jeszenői Sára, Kaltenecker Balázs Bence, Klepáček László, Koczkás Árpád, Koleszár Benedek, Kovács Kinga, Köpenczei Csanád, Láng Erik, Leőwey Kára, Lőrinczi Gergő, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Miklós, Sárvári Borka Luca, Seres Adél, Szabó Réka, Szanyi Attila, Szőllősi Gergely, Tatai Ottó, Vanya Zsuzsanna, Veszprémi Rebeka Barbara.
3 points:	Czirók Tamás, Dobre Zsombor, Forrás Marcell Boldizsár, Kovács Alex, Sallai Péter, Schmercz Blanka.
2 points:	7 students.
1 point:	5 students.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, November 2019