Problem G. 720. (October 2020)
G. 720. In the Tour de France cycling race, the riders go uniformly at a speed of 50 km/h on a horizontal road. The distance between the peloton and the breakaway riders is 1 km. When the riders reach an approximately 5 km long climb their speed soon decreases to 40 km/h, and when they move downwards also along a distance of 5 km their speed soon increases to 60 km/h. Sketch the distance between the peloton and the breakaway group as a function of time from the moment when the breakaway reaches the climb, until the moment it reaches the end of the downhill slope.
(4 pont)
Deadline expired on November 16, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Válasszuk az időmérés kezdőpontjának azt az időpontot, amikor a szökevények elérik az emelkedő alját. A mezőny
\(\displaystyle t_1=\frac{1~\rm km}{50~\frac{\rm km}{\rm h}}=\frac{1}{50}~\text{óra}=1{,}2~\text{perc}\)
múlva ér ugyanehhez a ponthoz.
A szökevények
\(\displaystyle t_2=\frac{5~\rm km}{40~\frac{\rm km}{\rm h}}=\frac{1}{8}~\text{óra}=7{,}5~\text{perc}\)
időpontban érnek az emelkedő tetejére, a mezőny 1,2 perccel később, tehát \(\displaystyle t_3=8{,}7\) perckor ér ugyanoda.
A szökevények
\(\displaystyle t_\text{lefelé}=\frac{5~\rm km}{60~\frac{\rm km}{\rm h}}=\frac{1}{12}~\text{óra}=5~\text{perc}\)
idő alatt gurulnak le a lejtő aljáig, tehát \(\displaystyle t_4=12{,}5~\)perckor érnek oda. Őket 1,2 perccel lemaradva követi a mezőny, tehát ők \(\displaystyle t_5=\)13,7 perckor érnek le. Ettől kezdve a szökevények is és a mezőny is egyenletesen, 5 km/h sebességgel halad.
A szökevények és a mezőny út-idő grafikonját az 1. ábra mutatja. A mezőny grafikonja a szökevényekéből úgy kapható meg, ha azt a \(\displaystyle t\) tengely irányában 1,2 perccel eltoljuk, hiszen a pálya mentén (bárhol) álló néző az előtte elhaladó két csoport között 1,2 perc időkülönbséget észlel.
1. ábra
A két csoport közötti távolság \(\displaystyle t\le 0\) esetén (a feladat szövege szerint) \(\displaystyle \Delta s=1\) km. \(\displaystyle t_1\) idő alatt ez a távolság (az állandó, 10 km/h nagyságú sebességkülönbség miatt) egyenletes ütemben
\(\displaystyle 1000~{\rm m}- 10~\frac{\rm km}{\rm h}\cdot 1{,}2~{\rm min}=800~\rm m\)
értékre csökken.
\(\displaystyle t_1\) és \(\displaystyle t_2\) között a két csoport egyforma sebessége miatt a távolságuk nem változik, mindvégig 800 m marad.
\(\displaystyle t_2\) és \(\displaystyle t_3\) között a relatív sebesség 20 km/h, így a csoportok közötti távolság \(\displaystyle 20~\frac{\rm km}{\rm h}\cdot 1{,}2~{\rm min}=400~\rm m\)-rel nő, vagyis 1200 m-re nő.
\(\displaystyle t_3\) és \(\displaystyle t_4\) között a két csoport egyforma sebessége miatt a távolságuk nem változik, mindvégig 1200 m marad.
\(\displaystyle t_4\) és \(\displaystyle t_5\) között a relatív sebesség \(\displaystyle -10\) km/h, így a csoportok közötti távolság \(\displaystyle 10~\frac{\rm km}{\rm h}\cdot 1{,}2~{\rm min}=200~\rm m\)-rel csökken, vagyis 1000 m lesz, és ez a távolság a továbbiakban már nem változik.
Az időben változó \(\displaystyle \Delta s(t)\) távolságot a 2. ábra mutatja.
2. ábra
Statistics:
52 students sent a solution. 4 points: Bencz Benedek, Bogdán Benedek, Bruder László, Buzási-Temesi Imre, Cynolter Dorottya, Dancsák Dénes, Emődi Marcell, Fehérvári Donát, Havasi Marcell Milán, Koczkás Árpád, Kohut Márk Balázs, Kolláth Gergely Sándor, Kovács Dorina , Láng Erik, Marozsi Lenke Sára, Medveczki Gábor József, Molnár Kristóf, Morvai Eliza, Novák Péter, Országh Júlia, Schmercz Blanka, Schneider Dávid, Sebestyén József Tas, Stein Felix, Szabó Réka, Szanyi Attila, Szeibert Dominik, Vágó Botond, Veszprémi Rebeka Barbara, Vig Zsófia, Vincze Farkas Csongor, Wórum Soma. 3 points: Biszak Ákos, Móricz Benjámin, Patricia Janecsko, Richlik Márton, Sepsei Gréta. 2 points: 6 students. 1 point: 7 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, October 2020