Problem G. 721. (November 2020)

G. 721. In a building block set, every element is made of solid wood. Each of them has the same mass and has the shape of a cuboid. One side of each cuboid has a length of 6 cm, but the other two sides of the cuboids may be different. Luis put four blocks on top of one another, at the top there was a cube-shaped block. The whole bottom face of each block touched the face of the block below. Luis was amused by the tower, and also noticed that the tower is special for the pressure at the bottom face of each block is the same. Draw the sketch of the tower and also indicate in your figure the lengths of the sides of the cuboids.

(3 pont)

Deadline expired on December 15, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a téglatestek szélességét \(\displaystyle d_i\), magasságát \(\displaystyle h_i\), az ábra síkjára merőleges mélységét pedig \(\displaystyle m_i\), ahol \(\displaystyle i=1,2,3,4\) felülről lefelé számozva. A feladat szövege szerint

\(\displaystyle d_1=h_1=m_1=6~\rm cm.\)

(A továbbiakban a centiméter egységet nem írjuk ki.)

Tegyük fel,hogy a téglatesteknek a mélysége az az élhossz, ami megegyezik, vagyis

\(\displaystyle m_2=m_3=m_4=6.\)

A fahasábok tömege megegyezik, tehát a térfogatuk is ugyanakkora, \(\displaystyle 6^3=216\) egység nagyságú. Ez akkor teljesül, ha

\(\displaystyle d_2h_3=d_3h_3=d_4h_4=36.\)

Az egyes téglatestek rendre \(\displaystyle G\), \(\displaystyle 2G\), \(\displaystyle 3G\) és \(\displaystyle 4G\) erővel nehezednek az alattuk levő felületre. A nyomás akkor lesz ugyanakkora, ha

\(\displaystyle 6d_2=2\cdot 6d_1,\qquad 6d_3=3\cdot d_1 \qquad \text{és}\qquad 6d_4=4\cdot 6d_1,\)

vagyis

\(\displaystyle d_2=12, \qquad d_3=18\qquad \text{és}\qquad d_4=24.\)

Összevetve ezeket a térfogatok egyenlőségét kifejező egyenletekkel, az adódik, hogy

\(\displaystyle h_2=3, \qquad h_3=2\qquad \text{és}\qquad h_4=1{,}5.\)

Megjegyzés. Belátható, hogy ha a fahasábok valamelyikének nem az egyik vízszintes mérete, hanem a magassága egyezne meg a legfelső test 6 egységnyi magasságával, akkor a megadott feltételek nem teljesülhetnek. Ha pl. \(\displaystyle h_2=6\), akkor a térfogatra vonatkozó feltétel szerint \(\displaystyle m_2\,d_2=36\), a nyomások egyenlőségéből pedig \(\displaystyle m_2\,d_2=2\cdot36\) következne, amik egymásnak ellentmondó összefüggések.

Statistics:

55 students sent a solution.
3 points:	Beke Botond, Bencz Benedek, Bogdán Benedek, Borsos Balázs, Buzási-Temesi Imre, Cynolter Dorottya, Dancsák Dénes, Farkas Botond, Fehérvári Donát, Hegedűs Máté Miklós, Jeszenői Sára, Josepovits Gábor, Kohut Márk Balázs, Kovács Dorina , Láng Erik, Marozsi Lenke Sára, Molnár Kristóf, Novák Péter, Országh Júlia, Patricia Janecsko, Richlik Márton, Schneider Dávid, Sebestyén József Tas, Stein Felix, Szabó Réka, Szanyi Attila, Szederkényi Kincső, Szitka Virág, Telkes Ágota, Török Hanga, Vágó Botond, Veszprémi Rebeka Barbara, Vig Zsófia, Vincze Farkas Csongor, Waldhauser Miklós, Zsova Levente.
2 points:	Hudvágner Márton, Jeney Zsolt, Kiss Máté Ferenc, Kornya Gergely Csaba, Móricz Benjámin, Wórum Soma.
1 point:	9 students.
0 point:	4 students.

Problems in Physics of KöMaL, November 2020