Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A G. 731. feladat (2021. január)

G. 731. Egy kertvárosi övezetben, ahol 30 km/h a megengedett legnagyobb sebesség, egy autó – kicsit szabálytalanul – 36 km/h sebességgel halad. Megelőzi őt egy másik, ugyanolyan autó 54 km/h sebességgel. Éppen egymás mellett haladnak, amikor 20 méternyire előttük egy gyerek kiszalad az úttestre. A két autó sofőrje egyszerre kezd el ugyanolyan erősen fékezni.

\(\displaystyle a)\) Mekkora ,,megmaradó'' sebességgel halad el a gyerek mellett a gyorsabb autó, ha a lassabb autó éppen megáll a gyerek előtt?

\(\displaystyle b)\) Hogyan változik az eredmény, ha figyelembe vesszük azt is, hogy mindkét sofőr reakcióideje kb. 1 másodperc?

Közli: Csapodi Csaba, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. február 18-án LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha az autóvezetők reakcióidejét nem vesszük figyelembe (vagyis pontosan akkor kezdenek el fékezni, amikor megpillantják a gyereket), akkor ugyanakkora úton, ugyanakkora fékezőerő lassítja a mozgásukat. Alkalmazhatjuk mindkét (egyforma tömegű) autóra a munkatételt:

\(\displaystyle \frac{1}{2}m\cdot \left(36~\frac{\rm km}{\rm h}\right)^2-W=0,\)

\(\displaystyle \frac{1}{2}m\cdot \left(54~\frac{\rm km}{\rm h}\right)^2-W=\frac{1}{2}m\cdot v_0^2,\)

ahonnan a gyorsabb autó ,,maradék'' sebessége

\(\displaystyle v_0=\sqrt{54^2-36^2}~\frac{\rm km}{\rm h}=40{,}2~\frac{\rm km}{\rm h}.\)

Látható, hogy ebben a közelítésben (amikor a reakcióidőről nem veszünk tudomást) a \(\displaystyle v_0\) sebesség nem függ az autók és a gyerek kezdeti távolságától.)

\(\displaystyle b)\) A lassabb autó sebessége \(\displaystyle v_1=10~\frac{\rm m}{\rm s}\), a gyorsabb autóé \(\displaystyle v_2=15~\frac{\rm m}{\rm s}\). A fékezés megkezdéséig a lassabb autó \(\displaystyle 10\) m utat tesz meg, tehát \(\displaystyle s_1=10\) méter a fékútja, vagyis a lassulása

\(\displaystyle a=\frac{v_1^2}{2s_1}=5~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)

A gyorsabb autó ugyanekkora lassulással mozog, de a gyerekig csak \(\displaystyle s_2=5\) m hosszan tud fékezni, így a sebességét csak

\(\displaystyle v_0=\sqrt{v_2^2-2as_2}\approx 13{,}2~\frac{\rm m}{\rm s}\approx 48~\frac{\rm km}{\rm h}\)

értékre tudja csökkenteni.

Megjegyzés. Téves az a naiv vélemény, miszerint a kezdetben 54 km/h-val haladó autó \(\displaystyle 54-36=18\) km/h sebességgel érkezik a gyerekhez. Még meglepőbb az eredmény, ha a reakcióidőt is figyelembe vesszük. A gyorsabb autó később kezd el fékezni, tehát rövidebb úton veszít a mozgási energiájából, emiatt a sebessége alig csökken a fékezés alatt, hiába van neki is ugyanolyan jó fékrendszere, mint a másik autónak.


Statisztika:

A G. 731. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. januári fizika feladatai