Problem G. 731. (January 2021)
G. 731. In a suburban area, where the the speed limit is 30 km/h, a car —a bit illegally— travels at a speed of 36 km/h. Another similar car overtakes it at a speed of 54 km/h. They are just next to each other when a child, who is 20 m ahead, runs to the road. Both drivers start to brake at the same moment, pushing the brakes at the same force.
\(\displaystyle a)\) At what ``remaining'' speed does the faster car pass the child, if the other car just stops in front of the child?
\(\displaystyle b)\) How does the result change if we consider that both drivers' reaction time is approximately 1 second?
(4 pont)
Deadline expired on February 18, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha az autóvezetők reakcióidejét nem vesszük figyelembe (vagyis pontosan akkor kezdenek el fékezni, amikor megpillantják a gyereket), akkor ugyanakkora úton, ugyanakkora fékezőerő lassítja a mozgásukat. Alkalmazhatjuk mindkét (egyforma tömegű) autóra a munkatételt:
\(\displaystyle \frac{1}{2}m\cdot \left(36~\frac{\rm km}{\rm h}\right)^2-W=0,\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}m\cdot \left(54~\frac{\rm km}{\rm h}\right)^2-W=\frac{1}{2}m\cdot v_0^2,\)
ahonnan a gyorsabb autó ,,maradék'' sebessége
\(\displaystyle v_0=\sqrt{54^2-36^2}~\frac{\rm km}{\rm h}=40{,}2~\frac{\rm km}{\rm h}.\)
Látható, hogy ebben a közelítésben (amikor a reakcióidőről nem veszünk tudomást) a \(\displaystyle v_0\) sebesség nem függ az autók és a gyerek kezdeti távolságától.
\(\displaystyle b)\) A lassabb autó sebessége \(\displaystyle v_1=10~\frac{\rm m}{\rm s}\), a gyorsabb autóé \(\displaystyle v_2=15~\frac{\rm m}{\rm s}\). A fékezés megkezdéséig a lassabb autó \(\displaystyle 10\) m utat tesz meg, tehát \(\displaystyle s_1=10\) méter a fékútja, vagyis a lassulása
\(\displaystyle a=\frac{v_1^2}{2s_1}=5~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)
A gyorsabb autó ugyanekkora lassulással mozog, de a gyerekig csak \(\displaystyle s_2=5\) m hosszan tud fékezni, így a sebességét csak
\(\displaystyle v_0=\sqrt{v_2^2-2as_2}\approx 13{,}2~\frac{\rm m}{\rm s}\approx 48~\frac{\rm km}{\rm h}\)
értékre tudja csökkenteni.
Megjegyzés. Téves az a naiv vélemény, miszerint a kezdetben 54 km/h-val haladó autó \(\displaystyle 54-36=18\) km/h sebességgel érkezik a gyerekhez. Még meglepőbb az eredmény, ha a reakcióidőt is figyelembe vesszük. A gyorsabb autó később kezd el fékezni, tehát rövidebb úton veszít a mozgási energiájából, emiatt a sebessége alig csökken a fékezés alatt, hiába van neki is ugyanolyan jó fékrendszere, mint a másik autónak.
Statistics:
46 students sent a solution. 4 points: Beke Botond, Bencz Benedek, Bruder László, Buzási-Temesi Imre, Cynolter Dorottya, Fehérvári Donát, Jeney Zsolt, Jeszenői Sára, Láng Erik, Marozsi Lenke Sára, Molnár Kristóf, Móricz Benjámin, Patricia Janecsko, Richlik Márton, Szabó Réka, Szanyi Attila, Vágó Botond, Veszprémi Rebeka Barbara, Vincze Farkas Csongor, Waldhauser Miklós. 3 points: Czirók Tamás, Dancsák Dénes, Hegedűs Máté Miklós, Josepovits Gábor, Kohut Márk Balázs, Kornya Gergely Csaba, Kovács Dorina , Országh Júlia, Schneider Dávid. 2 points: 8 students. 1 point: 5 students. 0 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, January 2021