Problem G. 738. (March 2021)

G. 738. When an earthquake occurs several waves are generated from the centre of the quake. The so called primary waves (P-waves) are the fastest, in our case their propagation speed is 5 km/s. The secondary waves (S-waves) are slower, they travel at a speed of 3 km/h. Two seismic observatories are at a distance of 75 km from each other. In one of them 6 seconds were measured between the detection of the P and S waves, whilst in the other 8 seconds elapsed. At what maximum depth could the centre of the earthquake be?

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Ha a földrengés helye az egyik \(\displaystyle (P)\) megfigyelőállomástól \(\displaystyle s_1\), a másik \(\displaystyle (Q)\) állomástól \(\displaystyle s_2\) távolságra volt, akkor a megadott időkülönbségek alapján (km és km/s egységekkel számolva):

\(\displaystyle \frac{s_1}{3}-\frac{s_1}{5}=6,\qquad\text{tehát}\qquad s_1=45~\rm km,\)

illetve

\(\displaystyle \frac{s_2}{3}-\frac{s_2}{5}=8,\qquad\text{tehát}\qquad s_2=60~\rm km.\)

Jelöljük a földrengés helyén átmenő függőleges sík és a megfigyelőállomások távolságát \(\displaystyle x\)-szel és (\(\displaystyle 75-x\))-szel! Legyen továbbá ezen függőleges sík földfelszíni \(\displaystyle E\) pontjának (a rengés epicentrumának) és a \(\displaystyle H\) rengésfészeknek (hipocentrumnak) a távolsága \(\displaystyle h\).

A Pitagorasz-tétel kétszeri alkalmazásával az

\(\displaystyle x^2+h^2=45^2, \qquad \text{valamint}\qquad (75-x)^2+h^2=60^2\)

egyenletrendszert kapjuk. A második egyenletből kivonva az elsőt:

\(\displaystyle 5625-150x=1575, \qquad \text{vagyis}\qquad x=27~\rm km\)

adódik, ahonnan a

\(\displaystyle h=\sqrt{45^2-27^2}=36~\rm km\)

eredmény adódik.

A földrengés középpontja tehát legfeljebb 36 km mélyen lehetett (ha éppen a két megfigyelőállomást összekötő egyenes ,,alatt'' volt), egyébként 36 km-nél kisebb mélységben történt a földrengés.

II. megoldás. Az előzőekben leírt módon megállapítjuk, hogy az egymástól \(\displaystyle c=75~\)km távolságban lévő megfigyelőállomásoktól \(\displaystyle a=45~{\rm km}\), illetve \(\displaystyle b=60\) km távolságban volt a földrengés fészke. A \(\displaystyle c\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle a\) számok aránya \(\displaystyle 5:4:3\), tehát pitagoraszi számhármast alkotnak. A háromszög hegyesszögű csúcsai a megfigyelőállomásoknál, a derékszögű csúcs pedig a rengés helyénél van.

Ha ezt a háromszöget megforgatjuk a vízszintes \(\displaystyle c\) átfogó körül, akkor a derékszögű csúcs adja meg a földrengés központjának a lehetséges helyét. A rengés centruma akkor van a legmélyebben, ha ennek a derékszögű háromszögnek a síkja függőleges. A háromszög átfogóhoz tartozó magassága adja meg a keresett maximális \(\displaystyle h\) mélységet. Hasonló háromszögek alapján

\(\displaystyle \frac{b}{c}=\frac{h}{a}, \qquad \text{vagyis}\qquad h=\frac{ab}{c}=36~\rm km.\)

Statistics:

39 students sent a solution.
4 points:	Bacsó Dániel, Beke Botond, Bencz Benedek, Bogdán Benedek, Borsos Balázs, Bruder László, Buzási-Temesi Imre, Cynolter Dorottya, Dancsák Dénes, Fehérvári Donát, Hegedűs Máté Miklós, Hudvágner Márton, Jeszenői Sára, Kohut Márk Balázs, Kovács Dorina , Lipóczi Levente, Marozsi Lenke Sára, Molnár Kristóf, Móricz Benjámin, Novák Péter, Patricia Janecsko, Richlik Márton, Sebestyén József Tas, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Réka, Szanyi Attila, Vágó Botond, Veszprémi Rebeka Barbara, Vig Zsófia, Vincze Farkas Csongor, Waldhauser Miklós, Wórum Soma.
3 points:	Czirók Tamás, Kornya Gergely Csaba, Láng Erik, Országh Júlia, Szegedi Ágoston, Vincze Máté.
2 points:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, March 2021