Problem G. 739. (March 2021)

G. 739. Improperly positioned loads can tip over the fork-lift trunk. Therefore a so-called load capacity chart is attached to the truck (see the figure). Using the chart determine the horizontal distance from the heel of the fork to the axle of the front wheel of the truck, and the horizontal distance between the heel of the fork and the centre of mass of the truck of mass 1200 kg.

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Ha túl nehéz a teher, a targonca az első kerekei körül elfordulva felbillenhet. A felbillenés határesetében az első kerekekre vonatkoztatott forgatónyomatékok éppen egyensúlyban vannak. Ennek feltétele (a bal oldali ábra jelöléseivel):

(A targonca súlyához nem számítottuk hozzá a vezető súlyát, hiszen ő le is szállhat a járművéről, és a biztonságot nyilván nem szabad ilyen esetleges helyzetektől függővé tenni. A villaterhelési diagram tehát a kezelő nélküli viszonyokra vonatkozik.)

A diagramon a BIZTONSÁGOS tartomány jobb széle azt jelzi, hogy a teher a villa vége körül is lebillenhet, a tartomány felső határvonala pedig a targonca teherbíróképességére utal. A tartomány ,,íves'' határvonala az (1) egyenletnek felel meg. A \(\displaystyle G(x)\) függvény két ismeretlen adatot (paramétert) tartalmaz, ezeket szeretnénk a függvény grafikonja alapján meghatározni. Ábrázoljuk a

\(\displaystyle \frac{G_0}{G}=\frac{x+d}{\ell-d}\)

lineáris függvényt a feladatban megadott grafikon alapján. (A súlyok aránya helyett számolhatunk a kg-ban megadott tömegek arányával.) Néhány pont felvétele után megrajzolhatjuk a lineáris függvénynek megfelelő egyenest (ld. az ábra jobb oldali részét). A grafikonról leolvasható, hogy a \(\displaystyle G_0/G=0\) tengelymetszetnél \(\displaystyle \vert x\vert=d=2~\)dm, a targonca első tengelye tehát 2 dm távol van a villa sarkától.

A grafikonról az is leolvasható, hogy az egyenes meredeksége:

\(\displaystyle m=\frac{1}{\ell-d}\approx \frac{1{,}38}{13~\rm dm}=0{,}106~\rm dm^{-1}.\)

Innen \(\displaystyle d\) már meghatározott értékének felhasználásával az \(\displaystyle \ell\approx 11{,}4~\rm dm\) eredmény adódik. A targonca súlyvonala tehát kb. \(\displaystyle 11{,}4~\rm dm\) távolságban van a villa sarokvonalától.

II. megoldás. Az I. megoldás jelöléseit és gondolatmenetét követve az (1) egyenletből függvényillesztés nélkül is meghatározhatjuk az \(\displaystyle \ell\) és \(\displaystyle d\) paramétereket. A feladathoz tartozó grafikonon szaggatott vonallal jelölt pontok helyzetéből leolvasható, hogy \(\displaystyle x=5{,}5~\rm dm\)-nél a legnagyobb megengedett teher tömege 1500 kg, \(\displaystyle x=10{,}5\) dm-nél pedig 900 kg. Felírhatjuk tehát (kg és dm egységekkel számolva) az

\(\displaystyle 1500\,(5{,}5+d)=1200\,(\ell-d),\)

\(\displaystyle 900\,(10{,}5+d)=1200\,(\ell-d) \)

egyenletrendszert, amelynek megoldása: \(\displaystyle d=\)2 dm és \(\displaystyle \ell= 11{,}375~{\rm dm}\approx 11{,}4~{\rm dm}\).

Statistics:

28 students sent a solution.
4 points:	Beke Botond, Bencz Benedek, Bogdán Benedek, Bruder László, Buzási-Temesi Imre, Cynolter Dorottya, Czirók Tamás, Fehérvári Donát, Hegedűs Máté Miklós, Jeszenői Sára, Josepovits Gábor, Kovács Dorina , Lipóczi Levente, Marozsi Lenke Sára, Molnár Kristóf, Richlik Márton, Sebestyén József Tas, Vágó Botond, Veszprémi Rebeka Barbara, Vig Zsófia, Vincze Farkas Csongor, Waldhauser Miklós, Wórum Soma.
3 points:	Dancsák Dénes, Láng Erik, Novák Péter, Patricia Janecsko, Stein Felix.

Problems in Physics of KöMaL, March 2021