Problem G. 748. (May 2021)
G. 748. A 20-cm long upside down test-tube, whose bottom part is filled with water and whose top part contains air (a Cartesian diver), is placed into a tall graduated cylinder, filled with water. The top of the test-tube is a bit above the level of the water in the cylinder. The top of the graduated cylinder is covered with a sheet of rubber, and then this rubber sheet is pressed down such that the pressure inside the test-tube increases by 5 kPa. At this moment the ``diver'' starts to move downwards.
\(\displaystyle a)\) What was the height of the air in the test-tube when the ``diver'' started to sink?
\(\displaystyle b)\) What is the minimum height of the graduated cylinder, if the ``diver'' stays at the bottom of the cylinder even if the rubber sheet is taken away from the top of the cylinder?
(4 pont)
Deadline expired on June 15, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Feltételezzük, hogy a külső légnyomás 100 kPa. 10 cm mélyen a víz hidrosztatikai nyomása közelítőleg 1 kPa. Mivel a búvár kezdetben csak ,,kicsit'' emelkedik ki a vízből, a benne lévő levegő nyomása 101 kPa.
Ha a bezárt levegő nyomását 5 kPa-lal növeljük, az 106 kPa lesz. Feltételezhetjük, hogy eközben a gáz hőmérséklete nem változik, így a Boyle–Mariotte-törvény szerint a levegőoszlop hossza
\(\displaystyle 10~{\rm cm}\cdot \frac{101}{106}=9{,}5~\rm cm\)
lesz. Ebben az állapotban a bezárt levegő és a kémcső fala által kiszorított víz súlya éppen a búvár súlyával (gyakorlatilag a kémcső súlyával) egyezik meg.
\(\displaystyle b)\) A búvár akkor marad lent a túlnyomás megszünte után is, ha a bezárt levegő hossza ott is 9,5 cm, vagyis a levegő nyomása 106 kPa, miközben a víz felszínénél a nyomás 100 kPa. A víz hidrosztatikai nyomása deciméterenként 1 kPa, tehát az edény aljára süllyedt búvárban lévő levegő alsó határa legalább 60 cm mélyen kell legyen. Ez akkor teljesül, ha a mérőhenger legalább 70,5 cm magas.
Statistics:
25 students sent a solution. 4 points: Bencz Benedek, Buzási-Temesi Imre, Hegedűs Máté Miklós, Láng Erik, Lipóczi Levente, Molnár Kristóf, Richlik Márton, Szabó Réka, Vágó Botond, Veszprémi Rebeka Barbara, Wórum Soma. 3 points: Cynolter Dorottya, Czirók Tamás, Jeszenői Sára, Josepovits Gábor, Kornya Gergely Csaba, Kovács Dorina , Marozsi Lenke Sára, Patricia Janecsko, Waldhauser Miklós. 2 points: 3 students. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, May 2021