Problem G. 751. (September 2021)

G. 751. The image formed by a plane mirror has the same size as the object. However, if we go closer to the mirror we observe ourselves bigger, because the angle of view gets greater. We can see our back by means of two plane mirrors, which are placed approximately opposite and parallel to each other.

Where should we stand in between the two mirrors in order to get the greatest angle of view of our back?

(4 pont)

Deadline expired on October 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A hátunk képe (akárhány tükröződés után) ugyanakkora, mint a valóságban. A kép látószögét a kép tőlünk mért távolsága határozza meg. Minél kisebb a képtávolság, annál nagyobb a kép látszólagos mérete.

Legyen a két tükör távolsága \(\displaystyle d\), és álljunk az egyik tükörtől \(\displaystyle x\) távolságra. Az első tükörkép a tükörtől ugyancsak \(\displaystyle d\) távolságban, tehát tőlünk \(\displaystyle 2x\) távolságban jön létre. Az első tükörkép a másik tükörtől \(\displaystyle d-x\) távol lesz, a második tükör által létrehozott kép tehát a második tükörtől \(\displaystyle d+x\) távol jön létre.

A hátunk képe – kétszeres tükröződés után – tőlünk \(\displaystyle 2(d-x)x+ (d-x)=2d\) távolságban lesz. Mivel ez a távolság nem függ \(\displaystyle x\)-től, a látószög ugyanakkora lesz, bárhová is állunk.

Megjegyzés. Ha a két tükör pontosan párhuzamosan állna, akkor az első tükörkép eltakarná a második képet, tehát egyáltalán nem látnánk a hátunkat. Közelítőleg párhuzamos tükröknél ez a takarás nem, vagy nem teljes mértékben valósul meg.

Másképp is érvelhetünk. Ha lassan, valamekkora \(\displaystyle v\) sebességgel közeledünk az egyik tükörhöz, a tükörképünk ugyanekkora sebességgel mozog felénk, a tükörkép tükörképe pedig \(\displaystyle -(-v)=v\) sebességgel mozog ugyanolyan irányban, mint mi magunk. A második tükörkép tehát hozzánk képest nem mozog, a távolsága (és ezzel együtt a látószöge) változatlan nagyságú marad, tehát a látószög nem függ attól, hogy milyen messze állunk az egyik vagy a másik tükörtől.

Statistics:

25 students sent a solution.
4 points:	Biró Kata, Egyházi Godó, Fehérvári Donát, Kovács Klára, Sütő Áron, Téglás Dorka, Töreczki Gábor.
0 point:	14 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, September 2021