Problem G. 754. (October 2021)

G. 754. Newspaper news on March 20, 2021: ``The vast majority of space debris revolve around the Earth at low orbits, i.e. from an altitude of 800 km up to 2000 km, at a speed of 28\,000 km/h.''

\(\displaystyle a)\) At what altitude can a piece of space debris orbit at a speed of 28\,000 km/h?

\(\displaystyle b)\) At what speed can a piece of space debris orbit at an altitude between 800 to 2000 kilometres?

(4 pont)

Deadline expired on November 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Számítsuk ki mondjuk az Egyenlítő felett \(\displaystyle h\) magasságban körpályán keringő űrszemét sebességét. Az Egyenlítő sugara: \(\displaystyle R=6378\) km, a nehézségi gyorsulás az Egyenlítőn \(\displaystyle g_0=9{,}78\) m/s\(\displaystyle ^2\). Tudjuk, hogy a nehézségi gyorsulás (egységnyi tömegű testre ható gravitációs erő) a Föld középpontjától mért távolság négyzetével fordítottan arányos. Így a földfelszíntől számított \(\displaystyle h\) magasságban a nehézségi gyorsulás:

\(\displaystyle g(h)=\left(\frac{R}{R+h}\right)^2 g_0.\)

A keringés sebességét \(\displaystyle h\) magasságban a Newton-egyenlet határozza meg:

\(\displaystyle \frac{v^2 }{R+h}=g(h),\)

vagyis

\(\displaystyle \left(\frac{v_0}{v}\right)^2-1=\frac{h}{R},\)

ahol

\(\displaystyle v_0=\sqrt{g_0R}=7{,}9~\frac{\rm km}{\rm s}=28\,400~\frac{\rm km}{\rm h}\)

az ún. első kozmikus sebesség. Ennek megfelelően a \(\displaystyle 28\,000\) km/h keringési sebességhez

\(\displaystyle h=\left[\left(\frac{28\,400}{28\,000} \right)^2-1\right]\cdot 6378~{\rm km}\approx 180~\rm km\)

magasság tartozik.

\(\displaystyle b)\) A magasságból a keringési sebesség így számítható ki:

\(\displaystyle v(h)=v_0\sqrt{\frac{R}{R+h}}.\)

Ennek megfelelően

\(\displaystyle v(800~\rm km) \approx 27\,000~\frac{\rm km}{\rm h},\)

illetve

\(\displaystyle v(2000~\rm km) \approx 25\,000~\frac{\rm km}{\rm h}.\)

Az újság tehát meglehetősen pongyolán – mondhatni hibásan – adta meg a keringési sebesség és a magasság között összefüggést.

Statistics:

24 students sent a solution.
4 points:	Kovács Klára, Sütő Áron, Téglás Dorka.
3 points:	Bocor Gergely, Csilling Dániel, Csóka Péter, Hruby Laura, Klement Tamás, Marosi Botond Máté, Merics Vilmos, Sós Ádám.
2 points:	4 students.
1 point:	2 students.
0 point:	3 students.

Problems in Physics of KöMaL, October 2021