Problem G. 759. (November 2021)

G. 759. Four balls of mass \(\displaystyle m\), then another four balls of \(\displaystyle M\) and then one more ball of mass \(\displaystyle m\) are strung on a horizontal, frictionless, fixed rod, as shown in the figure. The balls are close to each other, they are made of some perfectly elastic material and \(\displaystyle m <M\). From the left another ball of mass \(\displaystyle m\) is coming at a speed of \(\displaystyle v\) and collides with the first one of the ball string.

After the following collisions which balls remain at rest and what will the direction of the motion of the other balls be?

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha egy álló, A jelű testnek tökéletesen rugalmasan nekiütközik egy másik (B jelű) test \(\displaystyle v\) sebességgel, akkor a tömegüktől függően háromféle eset valósulhat meg:

\(\displaystyle (i)\) Ha \(\displaystyle m_A=m_B\), akkor \(\displaystyle B\) megáll, A pedig \(\displaystyle v\) sebességgel indul el.

\(\displaystyle (ii)\) Ha \(\displaystyle m_A>m_B\), akkor a B test \(\displaystyle v\)-nél kisebb sebességgel visszapattan, A pedig ugyancsak \(\displaystyle v\)-nél kisebb sebességgel indul el ,,előre''.

\(\displaystyle (iii)\) Ha \(\displaystyle m_A<m_B\), akkor a B test \(\displaystyle v\)-nél kisebb \(\displaystyle v_1 \) sebességgel előrefelé mozog tovább, A pedig \(\displaystyle v_1\)-nél nagyobb sebességgel indul el előre.

(Az ,,előre'' és ,,hátra'' irányokat az álló testnek ütköző másik test korábbi sebességéhez viszonyítjuk.)

Számozzuk meg a 10 testet balról jobbra növekvő számokkal 1-től 10-ig. A sorozatos ütközések így zajlanak le:

– Az 1. test megáll, a 2. elindul \(\displaystyle v\) sebességgel.

– A 2. test megáll, a 3. elindul \(\displaystyle v\) sebességgel.

– A 3. test megáll, a 4. elindul \(\displaystyle v\) sebességgel.

– A 4. test megáll, az 5. elindul \(\displaystyle v\) sebességgel.

– Az \(\displaystyle m\) tömegű 5. test ütközik a nála nagyobb tömegű 6. testtel. Az ütközés után az 5. test balra mozog \(\displaystyle v_1<v\) sebességgel, a 6. pedig jobbra \(\displaystyle v_2<v\) sebességgel.

– Az \(\displaystyle m\) tömegű testek sorozatos ütközése után az 1. test végül balra fog mozogni \(\displaystyle v_1<v\) sebességgel, a 2., 3., 4., és 5. test pedig megáll.

– Az \(\displaystyle M\) tömegű testek sorozatos ütközése után a 6., 7., 8., megáll, a 9. pedig \(\displaystyle v_2\) sebességgel nekiütközik a 10. testnek.

– Az ütközés után a 9. test jobbra fog mozogni \(\displaystyle v_3<v_2\) sebességgel, a 10. pedig ugyancsak jobbra \(\displaystyle v_4 > v_3\) sebességgel.

Összefoglalva: az ütközéssorozat végén a bal szélső test balra, a jobb szélső két test pedig jobbra fog mozogni, a többi pedig nyugalomban marad.

Megjegyzés. Az energia- és a lendületmegmaradás törvényét alkalmazva kiszámíthatjuk, hogy

\(\displaystyle v_1=\frac{M-m}{M+m}v, \qquad v_3=\frac{2m(M-m)}{(M+m)^2}v \qquad \text{és}\qquad v_4=\frac{4Mm}{(M+m)^2}v.\)

Statistics:

34 students sent a solution.
4 points:	Beke Botond, Csilling Dániel, Fehérvári Donát, Glaser Dávid, Hruby Laura, Jávor Botond, Kiss 668 Benedek, Klement Tamás, Kovács Klára, Marosi Botond Máté, Nagy 333 Zalán, Sütő Áron, Téglás Dorka, Török Hanga.
3 points:	Cserényi Bendegúz, Sós Ádám.
1 point:	7 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, November 2021