Problem G. 772. (February 2022)

G. 772. Children play a circle game in the field. Unfortunately, the child in the middle of the circle steps in a wasps' nest and the angry wasps fly away. The wind is blowing from the east at a speed of 4.5 m/s in the field, and the children are running radially outward at a speed of 6 m/s. According to the measurements of scientists these wasps in calm conditions can fly at a speed of 8 m/s. Estimate the percentage of children who are surely safe from wasp stings! You can also use a ruler, a pair of compasses and a protractor to find out the answer.

(4 pont)

Deadline expired on March 16, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha az \(\displaystyle O\) pontban történt a baleset, akkor a gyerekek \(\displaystyle t\) idő alatt (méter és másodperc egységekben számolva) \(\displaystyle 6\cdot t\) távolságra jutnak el. Ezalatt a darazsak \(\displaystyle 8\cdot t\) távolságra tudnak elrepülni, miközben a szél miatt \(\displaystyle 4{,}5\cdot t\) távolsággal sodródnak el nyugati irányba. A darazsak tehát a \(\displaystyle P\) középpontú, \(\displaystyle 8\,t\) sugarú, az ábrán sötétebben jelölt kör pontjaiba juthatnak el.

Azok a gyerekek menekülnek meg a darázscsípéstől biztosan, akik a folytonos vonallal jelölt \(\displaystyle AB\) ív irányába, a darazsak által elért sötétebb tartományt elkerülve kezdtek el szaladni. Az ő arányuk az összes gyerekhez képest kb. \(\displaystyle \frac{\varphi}{360^\circ}\). Ez az arányszám nem függ a \(\displaystyle t\) időtartamtól, hiszen az idő múltával az ábra arányai nem változnak, csak a mérete nővekszik.

A szerkesztés menete:

1. Körzővel rajzolunk egy 6 egység sugarú, \(\displaystyle O\) középpontú kört.

2. Vonalzóval felmérünk egy 4,5 egység hosszú, az \(\displaystyle O\) ponttól induló (tetszőleges irányú) szakaszt.

3. A szakasz másik végpontja \(\displaystyle (P)\) köré körzővel rajzolunk egy 8 egység sugarú kört.

4. Szögmérővel lemérjük a \(\displaystyle \varphi\) szöget, és azt találjuk, hogy \(\displaystyle \varphi\approx 165^\circ\).

5. Kiszámítjuk, hogy a gyerekeknek kb. 46%-a, tehát csaknem a fele menekül meg a darazsaktól.

A kérdéses \(\displaystyle \varphi\) szöget a koszinusztétel segítségével is ki lehet számítani:

\(\displaystyle \cos\frac{\varphi}2=\frac{8^2-6^2-4{,}5^2}{2\cdot 6\cdot4{,}5}=0{,}144,\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{\varphi}2=81{,}75^\circ,\qquad \text{tehát}\qquad \frac{\varphi}{360^\circ}=0{,}454=45{,}4\%.\)

Statistics:

21 students sent a solution.
4 points:	Csilling Dániel, Hruby Laura, Kiss 668 Benedek, Marosi Botond Máté, Medgyesi Júlia, Richlik Márton, Sütő Áron, Téglás Dorka.
3 points:	Biró Kata, Bocor Gergely, Csóka Péter, Fáklya Balázs Zoltán, Fehérvári Donát, Klement Tamás, Nagy 639 Csenge.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, February 2022