Problem G. 774. (March 2022)

G. 774. The diagram on page 187 shows the surface flow velocity profile for the river Danube at bridge Erzsébet on 10 Marc 2018. On the horizontal axis the distance \(\displaystyle s\) in metres measured from the left riverbank, and on the vertical axis the speed of the water \(\displaystyle v\) in m/s can be seen. The attached table shows the recorded data.

Estimate the distance at which the river would drift our boat down, if we were to row at a constant velocity of 1 m/s, perpendicularly to the riverbank, to a ship which is at a distance of 221 metres from the left riverbank.

(4 pont)

Deadline expired on April 19, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A becslést többféle módon is elvégezhetjük. A megadott sebességprofil grafikonon látszik, hogy az első 34 méteren a folyó sebessége nagyjából egyenletesen növekszik 0-ról 1 m/s-ra, ezen a szakaszon tehát számolhatunk 0,5 m/s-os átlagsebességgel. Az első 34 méteren, vagyis 34 s alatt a csónak 17 méternyit sodródna lefelé. A mozgás további \(\displaystyle 221-34=188\) méterén a víz sebessége jó közelítéssel állandó \(\displaystyle 1{,}1~\)m/s-nak vehető, a sodródás nagysága tehát \(\displaystyle 1{,}1\cdot 188\approx 206\) méter, a teljes szakaszon pedig összesen kb. \(\displaystyle 223~{\rm m}\approx 220~{\rm m}\). (Ennél pontosabban nincs értelme az eredményt megadni, hiszen a becslésnél használt közelítés \(\displaystyle \pm 10\) méteres hibát is okozhatott.)

Egy másik eljárás: A táblázatban megadott \(\displaystyle v_i\) értékeknek páronként képezzük a számtani közepét, és az így kapott

\(\displaystyle \overline{v_i}=\frac{v_i+v_{i+1}}{2}\)

átlagsebességgel számítjuk ki az \(\displaystyle i\)-edik szakaszhoz tartozó \(\displaystyle d_i\) lesodródást. Így a becsült érték:

\(\displaystyle d=\sum_i d_i=\left(\frac{0+0{,}41}{2}+\frac{ 0{,}41+1{,}00}{2}+\frac{ 1{,}00+1{,}05}{2}+\cdots +\frac{ 1{,}07+1{,}02}{2}\right)\,\frac{\rm m}{\rm s}\cdot (17~{\rm s}) \approx 230 ~\rm s. \)

A harmadik eljárás az lehet, hogy a mérési adatokra (számítógép segítségével) egy ,,sima'' görbét illesztünk, és az ezt leíró \(\displaystyle v(x)\) függvény integrálját számítjuk ki. Ennek részleteit azonban itt nem tárgyaljuk.

Statistics:

31 students sent a solution.
4 points:	Biró Kata, Bocor Gergely, Csilling Dániel, Csóka Péter, Egyházi Godó, Fehérvári Donát, Fercsák Flórián, Földi Albert, Heisz András Botond, Hruby Laura, Jávor Botond, Kiss 668 Benedek, Kiss 987 Barnabás, Kiss Hunor, Klement Tamás, Marosi Botond Máté, Medgyesi Júlia, Nagy 639 Csenge, Richlik Márton, Sós Ádám, Sütő Áron, Téglás Dorka, Toplak Ágnes.
3 points:	Jacsman Vencel , Jankó Sebestyén, Novák Péter.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, March 2022