Problem G. 807. (February 2023)

G. 807. From a height of 20 metres, three steel balls are projected one after the other in every second. The angle between the horizontal and the initial velocity of the first ball is \(\displaystyle 30^\circ\) upwards, that of the third ball is \(\displaystyle 30^\circ\) downwards, and the second ball is dropped without initial velocity. All three balls hit the ground at the same time. What were the initial velocities of the first and third steel balls?

(4 pont)

Deadline expired on March 16, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A második golyó (\(\displaystyle g\) = 10 m/\(\displaystyle \rm{s^2}\) közelítéssel számolva) 2 s alatt éri el a talajt. Tehát az első golyó 3 másodpercet, a harmadik pedig 1 másodpercet repül.

Tekintsük a lefele irányt pozitívnak. Az első golyó kezdősebességének függőleges összetevője legyen \(\displaystyle -v_{10}\). Három másodperc múlva ennek a golyónak a függőleges sebességösszetevője 30 m/s-mal nő meg, ami azt is jelenti, hogy a 3 s-ra számított átlagsebessége \(\displaystyle -v_{10}+15\,\rm{m/s}\) lesz. Ha az átlagsebességet megszorozzuk az eltelt idővel, akkor a függőleges elmozdulást, vagyis 20 m-t kapunk. A számítást akár fejben is elvégezhetjük, ami \(\displaystyle v_{10}\) = (25/3) m/s-ra vezet. A \(\displaystyle 30^\circ\)-os szög miatt az első golyó kezdősebessége ennek éppen a kétszerese: \(\displaystyle v_{1}\) = (50/3) m/s.

A harmadik golyó esetében hasonlóképpen járhatunk el. Ez a golyó \(\displaystyle v_{20}\) függőleges sebességösszetevővel indul, és 1 s múlva \(\displaystyle v_{20}\) + 10 m/s függőleges sebességgel ér talajt, vagyis a függőleges átlagsebessége \(\displaystyle v_{20}\) + 5 m/s. Ezt az átlagsebességet most 1 s-mal kell megszoroznunk, hogy megkapjuk a 20 m-es függőleges elmozdulást. A számítás még az előzőnél is könnyebb, eredményül \(\displaystyle v_{20}\) = 15 m/s-ot kapunk. Újra a \(\displaystyle 30^\circ\)-os indítási szöget kell figyelembe vennünk, hogy megkapjuk a végeredményt: \(\displaystyle v_{2}\) = 30 m/s.

Statistics:

33 students sent a solution.
4 points:	Antal Áron, Bencze Mátyás, Biró Kata, Bor Noémi, Hornok Máté, Jávor Botond, Kiss 668 Benedek, Medgyesi Júlia, Nagy 639 Csenge, Sós Ádám, Sütő Áron, Szabó 926 Bálint, Tajta Sára, Žigo Boglárka.
2 points:	6 students.
1 point:	4 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, February 2023