Problem G. 811. (March 2023)

G. 811. Three rectangular blocks are pulled along a horizontal sheet, with a constant force \(\displaystyle F\), as shown in the figure. The blocks are moving along a straight line all the time, and their instantaneous velocity is \(\displaystyle v_0\). How does the tension in the threads connecting the blocks depend on the value of the coefficient of kinetic friction \(\displaystyle \mu\) between the blocks and the sheet?

(4 pont)

Deadline expired on April 17, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a három hasáb tömege (jobbról balra haladva) \(\displaystyle m_1\), \(\displaystyle m_2\) és \(\displaystyle m_3\), az összekötő fonalakban ébredő fonálerőket pedig jelöljük így: \(\displaystyle K_1\) és \(\displaystyle K_2\). A rendszer gyorsulása:

\(\displaystyle a=\frac{F-\mu(m_1+m_2+m_3)g}{m_1+m_2+m_3}.\)

A harmadik hasáb gyorsulását így is felírhatjuk:

\(\displaystyle a=\frac{K_2-\mu m_3g}{m_3},\)

majd a kétféleképpen felírt gyorsulást egyenlővé téve megkaphatjuk az egyik kérdéses fonálerőt:

\(\displaystyle K_2=\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}F.\)

Vegyük észre, hogy a fonálerő egyáltalán nem függ \(\displaystyle \mu\)-től. Tovább folytatva – az előzőekhez hasonlóan – az első és a második hasáb gyorsulását is felírhatjuk:

\(\displaystyle a=\frac{F-K_1-\mu m_1g}{m_1},\)

illetve

\(\displaystyle a=\frac{K_1-K_2-\mu m_2g}{m_2}.\)

Ezek után akár háromféleképpen is kiszámíthatjuk a még hiányzó fonálerőt, de szerencsére akárhogyan is tesszük, ugyanarra az eredményre jutunk:

\(\displaystyle K_1=\frac{m_2+m_3}{m_1+m_2+m_3}F.\)

Láthatjuk, hogy ez a fonálerő sem függ \(\displaystyle \mu\)-től.

Megjegyzések. Ha már tudja az ember az eredményt, akkor könnyű egyszerűbb magyarázatot adni a kérdésre, hogy miért is nem függ a fonálerő a súrlódástól. Képzeljük el, hogy csak egy hosszú hasábunk van, és ezt húzzuk \(\displaystyle F\) erővel. Képzeletben szeleteljük fel a hosszú hasábot sok kis részre, és a részeket kössük össze fonalakkal. A legelöl lévő darabot \(\displaystyle F\) erővel húzzuk, az utolsót pedig lényegében nulla erővel. A fonalakban ható erők egyenesen arányosak azzal, hogy milyen ,,messze'' vannak a ,,vonat'' végétől, függetlenül attól, hogy mekkora a \(\displaystyle \mu\). (Ha \(\displaystyle m\) tömeg van ,,mögöttünk'', és az egész ,,vonat'' \(\displaystyle M\) tömegű, akkor az aktuális fonálerő: \(\displaystyle K=\tfrac{m}{M}F\).) Ennek oka az, hogy azonos gyorsulás esetén nemcsak az eredő erő arányos a tömeggel (Newton második törvénye szerint), hanem azonos súrlódási együttható esetén a súrlódási erő is arányos a tömeggel.

Észrevehetjük azt is, hogy eredményünk független attól, hogy a hasábok előrefelé gyorsulnak, vagy visszafelé lassulnak, sőt akár egyenletesen is mozoghatnak.

Statistics:

36 students sent a solution.
4 points:	Antal Áron, Bencze Mátyás, Biró Kata, Csapó András, Jávor Botond, Kiss 668 Benedek, Nagy 639 Csenge, Sós Ádám, Sütő Áron, Tajta Sára, Tóth Hanga Katalin, Žigo Boglárka	(12 students).
1 point:	2 students.
0 points:	18 students.
irregular:	3 scripts.

Problems in Physics of KöMaL, March 2023