Problem G. 828. (October 2023)

G. 828. Assume that the Earth is a perfect sphere, with a spherically symmetric mass distribution, and with a radius of 6400 km. Its mass is the same as that of the real Earth and the period of its rotation about its axis is also the same as the period of the Earth. A stout physicist at the North Pole measures his mass with a bathroom scale, which is accurate to 10 grams, and reads 100.00 kg. How much would the same scale read if he measured himself at the equator?

(3 pont)

Deadline expired on November 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feladatban leírt, idealizált Földön az Egyenlítőn és az Északi-sarkon ugyanakkora gravitációs erő hat az emberre, de az Egyenlítőn az ember egy kicsivel kisebb erővel nyomja a mérleget (és ugyanígy a mérleg egy kicsivel kisebb erővel nyomja az embert), mert a Föld forgása miatt az Egyenlítőn az ember gyorsul. Ezek szerint a mérleg a 100 kg tömegű emberre ható eredő erők különbségének megfelelő értékkel mutat kevesebbet (ami szerencsétlen elnevezéssel a centrifugális erőnek felel meg):

\(\displaystyle F_{\rm{cp}}=mR\omega^2=mR\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2=(100\,\rm{kg})\cdot(6,4\,\cdot\,10^6\,\rm{m})\left(\frac{2\pi}{86 400\,\rm{s}}\right)^2=3,38\,\rm{N},\)

és ezt az értéket kell elosztani az idealizált Földön mérhető \(\displaystyle g\)-vel. Az Északi-sarkon ez \(\displaystyle 9,74\,\rm{m/s^2}\), míg az Egyenlítőn \(\displaystyle 9,71\,\rm{m/s^2}\). Mindkét esetben azt kapjuk, hogy a mérleg az Egyenlítőn 35 dkg-mal mutat kevesebbet. (Ha a megszokás miatt \(\displaystyle 9,81\,\rm{m/s^2}\)-tel osztunk, akkor 34,5 dkg-ot kapunk, lényegében ugyanannyit.)

Statistics:

54 students sent a solution.
3 points:	Barth Albert Krisztián, Bús László Teodor, Derűs Ádám , Field Márton, Gerlei Dániel, Hollósi Dominik, Jávor Botond, Kisida Kata, Klenkó Éva Borbála, Méhes Mátyás , Németh Ábel, Pulka Gergely Tamás, Rácz Koppány Bendeguz, Roszik Szabolcs, Schmidt Marcell, Sógor-Jász Soma, Szabó 926 Bálint, Szabó András, Szeder Gergely, Táborosi Sára, Tajta Sára, Vincze Anna, Vincze Márton Attila, Zhang Yan.
2 points:	Bohner Emese, Görög Csanád Botond, Hrubi kristóf, Kis Boglárka 08, Klučka Dominika, Kovács Gábor Krisztián, Lengyel Ádám Tibor, Porcsin Gréta, Sipos Dániel Sándor, Vértesi Janka, Wolf Erik.
1 point:	4 students.
0 point:	5 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	6 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, October 2023