Problem G. 830. (November 2023)

G. 830. The width of the material of the base of a thin-walled cylinder-shaped glass jar with a radius of 5 cm is twice as large as the width of its vertical wall. What is the maximum height of the jar if it does not tip over when placed on its base on a slope with an elevation angle of \(\displaystyle 30^\circ\)?

(The friction is so large that the pot does not slip on the slope.)

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az edény akkor nem borul fel, ha a \(\displaystyle T\) tömegközéppontján átmenő függőleges egyenes nem esik az üvegedény talpán kívülre.

A határesetet az ábra mutatja. Mivel \(\displaystyle O\,TP\) félszabályos háromszög (a \(\displaystyle 30^\circ\)-os lejtőnek köszönhetően),

\(\displaystyle OT=\sqrt3\,r,\)

ahol \(\displaystyle r\) a henger sugara.

Legyen a henger magassága \(\displaystyle h\), a palást vastagsága \(\displaystyle d\), a fenéklap vastagsága \(\displaystyle 2d\) és az üveg sűrűsége \(\displaystyle \varrho\). A fenéklap és a palást tömegének aránya:

\(\displaystyle \frac{m_\text{fenéklap}}{m_\text{palást}} = \frac{r^2\pi(2d)\varrho}{2r\pi hd\varrho}=\frac{r}{h}.\)

Ugyanilyen arányban osztja a \(\displaystyle T\) tömegközéppont az \(\displaystyle OS=h/2\) távolságot:

\(\displaystyle \frac{ST}{OT}=\frac{(h/2)-\sqrt3r}{ \sqrt3r}=\frac{r}{h}.\)

Ez \(\displaystyle h\)-ra nézve másodfokú egyenlet, amelynek pozitív megoldása:

\(\displaystyle h=\left(\sqrt3+\sqrt{3+2\sqrt3} \right)\,r \approx 21{,}4\ \textrm{cm}.\)

Statistics:

35 students sent a solution.
4 points:	Barth Albert Krisztián, Blaskovics Ádám, Fülöp Magdaléna, Kisida Kata, Szabó András, Vértesi Janka, Vincze Anna.
3 points:	Antal Áron, Bús László Teodor, Kis Boglárka 08, Szabó Márton, Varga 511 Vivien.
2 points:	5 students.
1 point:	7 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, November 2023