Problem G. 832. (November 2023)

G. 832. Two walls of a room with an equilateral triangle-shaped floor are covered with flat mirrors (see the figure). A lamp stands in the centre of the room. How many images does the lamp produce?

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Általános megfontolások a síktükrök képalkotásáról, amelyek nem tartoznak szorosan a feladathoz, de a megoldás megértését segíthetik.

Ha egy (pirosan jelölt) pontszerűnek tekinthető \(\displaystyle L\) lámpa fényének egy része a függőleges \(\displaystyle T\) síktükörre esik, akkor ezek a fénysugarak úgy verődnek vissza, mintha a lámpa a \(\displaystyle T\)-re vonatkoztatott, geometriai értelemben vett tükrözött \(\displaystyle L_1\) pontjából indultak volna ki (1. ábra). (Az ábrán a fénysugarak vízszintes síkra vett vetületét tüntettük fel. Ezen a vetületi képen a tükör egyenes szakasznak látszik.)

1. ábra

Nyilvánvaló, hogy a tükröződésben csak azok a fénysugarak vesznek részt, amelyek ténylegesen elérik a tükröt; ezeket zöld vonalakkal jelöltük. A tükröt elkerülő (pirosan jelölt) fénysugarak irányváltoztatás nélkül haladnak tovább. Ha a visszaverődő (zöld) fénysugarak útjában valahol egy \(\displaystyle M\) megfigyelő tartózkodik és az \(\displaystyle L_1\) pont felé néz, ott a lámpa látszólagos (virtuális) képét látja.

Előfordulhat, hogy a \(\displaystyle T_1\) tükrön visszaverődő fénysugarak egy része egy másik, \(\displaystyle T_2\)-vel jelölt tükörre esik (2. ábra).

2. ábra

Ilyenkor a második tükörről úgy verődnek vissza a fénysugarak, mintha az \(\displaystyle L_1\) virtuális kép \(\displaystyle T_2\)-re vett tükörképéből, az \(\displaystyle L_2\) pontból indultak volna el.

A tükörképet azok a fénysugarak hozzák létre, amelyek ténylegesen elérték a megfelelő tükröt. Az \(\displaystyle M\) pontban álló megfigyelő például mindkét tükörképet lárhatja, ha a fejét megfelelő irányba fordítja. Az \(\displaystyle M_1\) pontbeli szemlélő csak \(\displaystyle L_1\)-et látja, az \(\displaystyle M_2\) pontból pedig sem az \(\displaystyle L_1\) sem az \(\displaystyle L_2\) tükörképet nem észlelheti.

Az eljárás tovább is folytatható. Ha a \(\displaystyle T_2\) tükörről visszavert sugarak egy része eléri \(\displaystyle T_1\)-et (a 2. ábrán nem ez a helyzet), azok egy harmadik tükörképet hoznak létre és így tovább.

Térjünk most rá az eredeti feladat megoldására. A \(\displaystyle T_1\) tükör az \(\displaystyle L\) lámpáról virtuális képet hoz létre az \(\displaystyle L_1\) pontban. Ennek \(\displaystyle T_2\) által létrehozott tükörképe az \(\displaystyle L_2\) pont, amelyet \(\displaystyle T_1\)-en tükrözve az \(\displaystyle L_3\) képponthoz jutunk.

Hasonló módon járhatunk el, ha a lámpából a \(\displaystyle T_2\) tükörre eső fénysugarak útját követjük. Itt az első virtuális képpont \(\displaystyle L_4\), a második \(\displaystyle L_5\), és végül az \(\displaystyle L_6\), ami egybeesik \(\displaystyle L_3\)-mal.

3. ábra

Az \(\displaystyle L_1, L_2, L_3, L_4\) és \(\displaystyle L_5\) pontok egy szabályos hatszög csúcsaiban helyezkednek el (3. ábra). Az \(\displaystyle M\) megfigyelő ezen pontok mindegyikében láthatja az \(\displaystyle L\) lámpa virtuális képét, tehát összesen 5 tükörkép keletkezik. Ha az \(\displaystyle M\) megfigyelő a szoba bal oldali felében helyezkedik el (a 4. ábra egy ilyen elrendezést mutat), akkor a \(\displaystyle T_1\) tükörben 2 tükörképet, a \(\displaystyle T_2\) tükörben pedig 3 képet fog látni. Ha \(\displaystyle M\) a szoba másik felében tartózkodik, akkor a helyzet megfordul, de ilyenkor is összesen 5 képet láthat.

4. ábra

Statistics:

52 students sent a solution.
4 points:	Antal Áron, Barth Albert Krisztián, Bohner Emese, Bús László Teodor, Fülöp Magdaléna, Görög Csanád Botond, He Stefan, Hollósi Dominik, Horváth 001 Botond , Kisida Kata, Klenkó Éva Borbála, Méhes Mátyás , Németh Ábel, Porcsin Gréta, Pulka Gergely Tamás, Schmidt Marcell, Sipos Dániel Sándor, Sógor-Jász Soma, Szabó András, Tajta Sára, Vincze Anna, Zhang Yan.
3 points:	Chen Yu, Kis Boglárka 08, Trauner Dávid.
2 points:	5 students.
1 point:	4 students.
0 point:	9 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, November 2023