Problem G. 835. (December 2023)

G. 835. A driver is driving at the foot of a hill at \(\displaystyle 60~\mathrm{km/h}\) when he switches to neutral gear. When he reaches the top of the hill, the speedometer of the car reads \(\displaystyle 40~\mathrm{km/h}\). Neglect drag and friction losses.

\(\displaystyle a)\) What would be the speed of the car at the top of the hill if it had reached the bottom of the hill at \(\displaystyle 70~\mathrm{km/h}\)?

\(\displaystyle b)\) What should the minimum speed of the car at the bottom of the hill be in order to reach the top without without using the engine?

(4 pont)

Deadline expired on January 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feladatban leírt esetre alkalmazzuk a mechanikai energia megmaradásának törvényét:

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv^2+mgh\,.\)

Egyszerűsítés és a számadatok behelyettesítése után ezt kapjuk:

\(\displaystyle gh=\frac{1}{2}(v_0^2-v^2)=\frac{1}{2}\left(\frac{60^2}{3{,}6^2}-\frac{40^2}{3{,}6^2}\right)=77{,}16\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}\,.\)

\(\displaystyle a)\) Jelöljük most \(\displaystyle v_1\)-gyel az autó sebességét a domb alján és \(\displaystyle v_2\)-vel a domb tetején, továbbá újra alkalmazzuk a mechanikai energia megmaradásának törvényét:

\(\displaystyle mgh=\frac{1}{2}m(v_1^2-v_2^2)\,,\)

amiből

\(\displaystyle v_2^2=v_1^2-2gh=\frac{70^2}{3{,}6^2}-2\cdot77{,}16=223{,}77\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}\,,\)

amiből \(\displaystyle v_2\approx15\,\mathrm{\frac{m}{s}}=54\,\mathrm{\frac{km}{h}}\,.\)

\(\displaystyle b)\) Ebben az esetben még egyszerűbb alakban felírható mechanikai energia megmaradásának törvénye:

\(\displaystyle {v_\mathrm{min}}^2=2gh=154{,}32\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}\,,\)

amiből \(\displaystyle {v_\mathrm{min}}=12{,}4\,\mathrm{\frac{m}{s}}=44{,}7\,\mathrm{\frac{km}{h}}\,.\)

Statistics:

60 students sent a solution.
4 points:	Antal Áron, Barth Albert Krisztián, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Bohner Emese, Bús László Teodor, Derűs Ádám , Field Márton, Fülöp Magdaléna, Gerlei Dániel, Görög Csanád Botond, Hollósi Dominik, Hrubi kristóf, Jávor Botond, Kis Boglárka 08, Kisida Kata, Marosi Hella Rita, Méhes Mátyás , Papp Emese Petra, Páternoszter Tamás, Porcsin Gréta, Pulka Gergely Tamás, Rácz Koppány Bendeguz, Sárecz Bence, Schmidt Marcell, Sipos Dániel Sándor, Sógor-Jász Soma, Szabó 926 Bálint, Szabó 926 Bence, Szabó András, Szabó Márton, Táborosi Sára, Tajta Sára, Trauner Dávid, Varga 511 Vivien, Vértesi Janka, Vincze Anna, Wolf Erik.
3 points:	Chen Yihan, Gáti Benjamin, Havas Dániel, Havasi Gergely, Klenkó Éva Borbála, Vincze Márton Attila.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 point:	5 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	6 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, December 2023