Problem G. 836. (December 2023)

G. 836. An \(\displaystyle \ell=0.5~\mathrm{m}\) long cylindrical glass tube, closed at one end and open at the other, was submerged vertically in the Dead Sea with its open end turned downwards so that the lower (open) end of the tube is at a depth of \(\displaystyle h=30~\mathrm{m}\). Inside the tube there was air at a temperature of \(\displaystyle 32\;{}^\circ\)C and at a pressure of \(\displaystyle 800~\mathrm{mmHg}\) – which was the same as the atmospheric pressure. The water in the Dead Sea has a temperature of \(\displaystyle 27\;{}^\circ\)C and a density \(\displaystyle 1.24\) times that of distilled water. How high does the water rise in the tube?

(4 pont)

Deadline expired on January 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tiszta víz esetén a hidrosztatikai nyomás \(\displaystyle 10{,}3\) méterenként \(\displaystyle 760\,\mathrm{Hgmm}\)-rel növekszik, ami \(\displaystyle 30\,\mathrm{m}\) mélységben \(\displaystyle 2210\,\mathrm{Hgmm}\)-t jelent. Mivel a Holt-tenger vize a desztillált vízhez képest \(\displaystyle 1{,}24\)-szer sűrűbb, így ugyanennyiszer nagyobb a hidrosztatikai nyomás is. Tehát \(\displaystyle 30\,\mathrm{m}\)-es mélységben a hidrosztatikai nyomás kerekítve \(\displaystyle 2745\,\mathrm{Hgmm}\), az abszolút nyomás pedig ennél \(\displaystyle 800\,\mathrm{Hgmm}\)-rel több, vagyis \(\displaystyle 3545\,\mathrm{Hgmm}\), hiszen a felszínen a légköri nyomás \(\displaystyle 800\,\mathrm{Hgmm}\).

Ha az üvegcsőben \(\displaystyle x\) mm-es magasságig emelkedik a víz, akkor a víz feletti (bezárt) légoszlop nyomása \(\displaystyle 1{,}24\,x\) vízmilliméterrel kevesebb, mint a cső alján. Mivel a higany sűrűsége \(\displaystyle 13{,}6\)-szorosa a vízének, így ez a nyomáscsökkenés a fenti érték \(\displaystyle 13{,}6\)-ed része, vagyis \(\displaystyle 0{,}0912\,x\,\mathrm{Hgmm}\).

Ezek után a bezárt levegőre felírhatjuk az egyesített gáztörvényt:

\(\displaystyle \frac{(800\,\mathrm{Hgmm})\,\cdot\,(500\,\mathrm{mm})}{305\,\mathrm {K}}=\frac{(3545\,-0{,}0912\,x)\,\mathrm{Hgmm}\,\cdot\,(500-x)\,\mathrm{mm}}{300\,\mathrm{K}}\,.\)

A másodfokú egyenlet fizikailag értelmes megoldása: \(\displaystyle x=388\), tehát a víz a csőben \(\displaystyle 388\,\mathrm{mm}\) magasra emelkedik.

Statistics:

39 students sent a solution.
4 points:	Antal Áron, Barth Albert Krisztián, Blaskovics Ádám, Bús László Teodor, Porcsin Gréta, Tajta Sára.
3 points:	Görög Csanád Botond, Hrubi kristóf, Kis Boglárka 08, Németh Ábel, Pulka Gergely Tamás, Szabó András, Trauner Dávid, Vértesi Janka, Vincze Anna.
2 points:	8 students.
1 point:	8 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, December 2023