Problem G. 837. (January 2024)

G. 837. Consider the liquid and gaseous phases of water at \(\displaystyle 100~{}^\circ\text{C}\) and at atmospheric pressure. On average, how many times farther apart are the centres of adjacent water molecules in the vapour phase than in the liquid phase?

(3 pont)

Deadline expired on February 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A folyékony vízben lényegében ,,érintkeznek'' egymással a szomszédos vízmolekulák, tehát középpontjuk távolsága megegyezik a vízmolekulák átmérőjével. Durva közelítésként tekintsük úgy, mintha egy-egy vízmolekulát bezárnánk egy akkora kockába, amelynek oldaléle megegyezik a vízmolekulák átmérőjével. Ezt az \(\displaystyle a_1\) méretet a víz \(\displaystyle 100\,^\circ\mathrm{C}\)-on vett \(\displaystyle \varrho_1\) sűrűségével így fejezhetjük ki:

\(\displaystyle a_1=\sqrt[3]{\frac{M}{\varrho_1 N_\mathrm{A}}},\)

ahol \(\displaystyle M\) a víz moláris tömege, \(\displaystyle N_\mathrm{A}\) pedig az Avogadro-szám. Gőzfázisban ugyanezt a kockákra bontást megtehetjük, ezek oldaléle adja a molekulák középpontjának \(\displaystyle a_2\) átlagos távolságát:

\(\displaystyle a_2=\sqrt[3]{\frac{M}{\varrho_2 N_\mathrm{A}}},\)

ahol \(\displaystyle \varrho_2\) a \(\displaystyle 100\,^\circ\mathrm{C}\)-os vízgőz sűrűsége.

A két képlet összevetéséből láthatjuk, hogy az átlagos távolságok aránya a sűrűségek fordított arányának köbgyökével egyezik meg:

\(\displaystyle \frac{a_2}{a_1}=\sqrt[3]{\frac{\varrho_1}{\varrho_2}}\approx 12.\)

Megjegyzés. Ha \(\displaystyle a_1\) fenti képletébe behelyettesítjük a víz sűrűségét, akkor \(\displaystyle 0{,}314\,\mathrm{nm}\) értéket kapunk, ami durván 15%-kal tér el a vízmolekulák valódi \(\displaystyle 0{,}275\,\mathrm{nm}\)-es átmérőjétől. Ez azonban nem azt jelenti, hogy a vízmolekulák középpontjának átlagos távolságára túlságosan nagy értéket kaptunk, sőt inkább az igaz, hogy az átlagos távolság a vízben még nagyobb ennél, amit a hidrogénhíd kötések okozta laza szerkezettel magyarázhatunk.

Statistics:

40 students sent a solution.
3 points:	Barkóczi Lili Helka, Barth Albert Krisztián, Blaskovics Bálint, Bús László Teodor, Gerlei Dániel, Hrubi kristóf, Kis Boglárka 08, Méhes Mátyás , Milovecz Fruzsina Panka, Papp Emese Petra, Schmidt Marcell, Szabó Márton, Táborosi Sára, Vincze Anna.
2 points:	Görög Csanád Botond, Havasi Gergely, Jávor Botond, Szabó András, Tajta Sára.
1 point:	5 students.
0 point:	11 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, January 2024