Problem G. 840. (January 2024)

G. 840. What is the minimum speed of a room-temperature lead ball at which it must hit a wall in order that it melts? Assume that half of the heat released during the inelastic collision heats the wall and half heats the lead ball.

(4 pont)

Deadline expired on February 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ólomgolyó \(\displaystyle \tfrac{mv^2}{2}\) mozgási energiával csapódik a falnak, és a rugalmatlan ütközés miatt ez az energia teljes egészében hővé válik. A feladatban szereplő feltételezés miatt ennek fele olvasztja meg az ólomgolyót. Az ólomgolyónak olvadáspontig kell melegednie, majd megolvadnia. A következő egyenletet írhatjuk fel:

\(\displaystyle \frac{1}{2}\,\frac{mv^2}{2}=cm\Delta T + L_\mathrm{o}m.\)

A tömeggel történő egyszerűsítés után ezt kapjuk:

\(\displaystyle v=2\sqrt{c\Delta T+L_\mathrm{o}}.\)

Ebben a kifejezésben \(\displaystyle c\) az ólom fajhőjét (\(\displaystyle c=130\,\mathrm{J/kg\,K}\)), \(\displaystyle L_\mathrm{o}\) pedig az ólom olvadáshőjét (\(\displaystyle L_\mathrm{o}=23200\,\mathrm{J/kg}\)) jelenti. A \(\displaystyle \Delta T\) hőmérsékletváltozás az ólom \(\displaystyle T_\mathrm{o}=327\,^{\circ}\mathrm{C}\) olvadáspontjának és a szobahőmérsékletnek a különbsége, így túlfűtött (\(\displaystyle 27\,^\circ\mathrm{C}\)-os) szobában \(\displaystyle \Delta T\approx300\,\mathrm{K}\).

Az adatok behelyettesítése után megkapjuk, hogy az ólomgolyónak legalább \(\displaystyle v=500\,\mathrm{m/s}\)-os sebességgel kell a falnak csapódnia, hogy megolvadjon. Ha ennél nagyobb a becsapódási sebesség, akkor nemcsak megolvad az ólomgolyó, hanem még olvadáspont fölé is melegszik. A kiszámított sebesség igen nagy, hiszen ez nagyjából a levegőbeli hangsebesség másfélszerese.

Statistics:

52 students sent a solution.
4 points:	Antal Áron, Bakonyi Zsombor Attila, Blaskovics Ádám, Bohner Emese, Bús László Teodor, Fülöp Magdaléna, Gerlei Dániel, Görög Csanád Botond, Hrubi kristóf, Jávor Botond, Kis Boglárka 08, Kisida Kata, Klučka Dominika, Porcsin Gréta, Rácz Koppány Bendeguz, Schmidt Marcell, Szabó András, Szabó Márton, Tajta Sára, Vincze Anna, Vízhányó Janka.
3 points:	Barth Albert Krisztián, Bora Ádám, Field Márton, Hollósi Dominik, Kámán-Gausz Péter, Méhes Mátyás , Németh Ábel, Papp Emese Petra, Sógor-Jász Soma, Szabó 926 Bálint, Szabó 926 Bence, Táborosi Sára, Varga 511 Vivien.
2 points:	8 students.
1 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	6 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, January 2024