Problem G. 841. (February 2024)

G. 841. If you tie 20-30 wooden skewers tightly together with a rubber band, why does the bundle take on a nearly cylindrical shape?

(3 pont)

Deadline expired on March 18, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az energiaminimumra való törekvés miatt a gumikarika minél kisebb hosszúságot akar elérni, hiszen így tudja minimalizálni a rugalmas energiát. Adott keresztmetszeti terület esetén a kör alak eredményezi a legkisebb kerületet, ezért veszi fel a köteg (közelítőleg) a henger alakot.

A hurkapálcák szoros illeszkedésű hatszöges formát képeznek, de nem biztos, hogy teljes lesz a rendeződés. A keresztmetszetet vizsgálva minden hurkapálcához tartozik egy köré írható, szabályos hatszög, és ideális esetben ezek a hatszögek hézag nélkül töltik ki a keresztmetszetet. Ha a hatszög oldalélei egységnyiek, akkor a hatszög területe \(\displaystyle \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\), míg a beírható kör (ami maga a hukapálca) területe \(\displaystyle \tfrac{3}{4}\pi\). A kettő aránya: \(\displaystyle \tfrac{\pi}{2\sqrt{3}}=0,907\), vagyis az úgynevezett kitöltési tényező nagyjából 90%.

A fentiek alapján alulról megbecsülhető a köteg sugara. Ha például 25 darab 2 mm átmérőjű hurkapálca alkotja a köteget, akkor a keresztmetszeti körök teljes területe \(\displaystyle 25\pi\,\mathrm{mm^2}\), és ezt az értéket kell \(\displaystyle \tfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\)-mal elosztanunk, hogy megkapjuk a hibamentesen illeszkedő köteg keresztmetszetének a területét: \(\displaystyle 50\sqrt{3}\,\mathrm{mm^2}\). A köteg természetesen még ideálisan, vagyis hibamentesen szoros illeszkedés esetén sem pontosan kör keresztmetszetű, de egy körrel jól közelíthető. A számítást elvégezve azt kapjuk, hogy a 25 pálcából álló köteg átmérője legalább \(\displaystyle 10{,}5\,\mathrm{mm}\).

Statistics:

50 students sent a solution.
3 points:	Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Bohner Emese, Bús László Teodor, He Stefan, Hrubi kristóf, Milovecz Fruzsina Panka, Papp Emese Petra, Pulka Gergely Tamás.
2 points:	Csáki Anikó, Görög Csanád Botond, Havas Dániel, Horváth Kristóf Dominik, Jávor Botond, Kis Boglárka 08, Németh Ábel, Páternoszter Tamás, Sárecz Bence, Sipos Dániel Sándor, Szabó 926 Bálint, Szabó 926 Bence, Vincze Anna.
1 point:	16 students.
0 point:	8 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, February 2024