Problem G. 842. (February 2024)

G. 842. Space researchers hope to build a human moonbase on the Moon soon. Imagine the astronauts celebrating the one-year anniversary of the moonbase with a special fireworks display. A projectile is fired at an angle of \(\displaystyle 45^\circ\), which explodes at an altitude of 100 m at the top of its path into tiny fragments that fly apart at \(\displaystyle 10~\text{m}/\text{s}\) relative to the projectile's centre of mass, glowing brightly for a long time. With respect to the time and position of the launch, when and where do the first and last brightly glowing fragments hit the ground?

(4 pont)

Deadline expired on March 18, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A Holdon a nehézségi gyorsulás \(\displaystyle g=1{,}62\,\mathrm{m/s^2}\) (a földi érték egyhatod része). A \(\displaystyle 45^\circ\)-os kilövési szög miatt a lövedék kezdősebességének vízszintes és függőleges összetevői egyenlőek: \(\displaystyle v_{0x} = v_{0y}\). Ezeket az összetevőket az emelkedési magasságból határozhatjuk meg:

\(\displaystyle v_{0x} = v_{0y}=\sqrt{2gh}=18\,\mathrm{m/s}.\)

Az emelkedés ideje:

\(\displaystyle t_{\mathrm{e}}=\sqrt{\tfrac{2h}{g}}=11{,}1\,\mathrm{s}.\)

A tetőpont eléréséig a lövedék vízszintesen \(\displaystyle x=v_{0x} t_{\mathrm{e}}=200\,\mathrm{m}\) utat tesz meg.

Legelőször az a fényesen világító darabka ér talajt, amelynek a robbanás pillanatát követően a \(\displaystyle v_0=10\,\mathrm{m/s}\) nagyságú többletsebessége függőlegesen lefelé mutat, míg legutoljára az a darabka, melynek ugyanekkora sebességtöbblete függőlegesen felfelé mutat. Érdekes, hogy mindkét esetben ugyanakkora \(\displaystyle v_y\) függőleges sebességösszetevővel érnek talajt, sőt azt is észrevehetjük, hogy ebben a két esetben a talajba történő becsapódási sebességük is ugyanakkora. (Ezt például az energiamegmaradás törvényének az alkalmazásával láthatjuk be.) A becsapódási sebesség függőleges összetevője:

\(\displaystyle v_y=\sqrt{2gh+v_0^2}=20{,}6\,\mathrm{m/s}.\)

Ha a robbanás pillanatában a többletsebesség lefelé mutat, akkor a függőleges átlagsebesség:

\(\displaystyle \overline{v_{y1}}=\frac{v_y+v_0}{2}=15{,}3\,\mathrm{m/s},\)

ha pedig felfelé, akkor

\(\displaystyle \overline{v_{y2}}=\frac{v_y-v_0}{2}=5{,}3\,\mathrm{m/s}.\)

A két esetben az esési idő:

\(\displaystyle t_1=\frac{h}{\overline{v_{y1}}}=6{,}54\,\mathrm{s}\quad\textrm{és}\quad t_2=\frac{h}{\overline{v_{y2}}}=18{,}9\,\mathrm{s}.\)

Az esés alatti vízszintes elmozdulások:

\(\displaystyle \Delta x_1=v_{0x}t_1=118\,\mathrm{m}\quad\textrm{és}\quad\Delta x_2=v_{0x} t_2=340\,\mathrm{m}.\)

Tehát a kilövés helyétől mérve legelőször \(\displaystyle x_1=x+\Delta x_1=318\,\mathrm{m}\) távolságra ér talajt tűzijáték darabka \(\displaystyle t_{\mathrm{e}}+t_1=17{,}65\,\mathrm{s}\)-mal a kilövést követően, míg a tűzijáték utolsó darabkája \(\displaystyle x_2=x+\Delta x_2=540\,\mathrm{m}\) távolságra ér talajt \(\displaystyle t_{\mathrm{e}}+t_2=30\,\mathrm{s}\)-mal a kilövést követően.

Statistics:

44 students sent a solution.
4 points:	Barth Albert Krisztián, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Bús László Teodor, Csáki Anikó, Görög Csanád Botond, Jávor Botond, Kis Boglárka 08, Kisida Kata, Porcsin Gréta, Sipos Dániel Sándor, Sógor-Jász Soma, Szabó András, Szabó Márton, Tajta Sára, Vízhányó Janka.
3 points:	Hrubi kristóf, Papp Emese Petra, Táborosi Sára.
2 points:	10 students.
1 point:	9 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, February 2024