Problem G. 845. (March 2024)

G. 845. A car and a lorry leave a crossroad junction at the same time. (The roads are perpendicular to each other.) The car is travelling at a uniform speed of \(\displaystyle 20~\text{m}/\text{s}\) and the truck at \(\displaystyle 15~\text{m}/\text{s}\). After 10 minutes, the truck reaches a crossroad, it turns \(\displaystyle 90^\circ\) and continues travelling at its previous speed on the road. What might the distance between the car and the truck be 20 minutes after they left the junction?

(3 pont)

Deadline expired on April 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A derékszögű útkereszteződést ábrázoljuk egy Descartes-féle koordináta-rendszerben. Rögzítsük azt, hogy a személyautó a pozitív \(\displaystyle x\) irányba mozog, sebessége állandó, nagysága \(\displaystyle 20\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}=72\,\mathrm{\tfrac{km}{h}}\). Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle 20\,\mathrm{perc}=\tfrac{1}{3}\,\mathrm{h}\) múlva az origótól 24 km távolságra lesz. Az \(\displaystyle x\)-\(\displaystyle y\) koordináta-rendszerben km egységekben ez a (24; 0) pont.

A teherautó 10 percig (\(\displaystyle \tfrac{1}{6}\) óráig) halad \(\displaystyle 15\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}=54\,\mathrm{\tfrac{km}{h}}\) sebességgel, tehát ezalatt 9 km-t tesz meg. A teherautó mozoghat a \(\displaystyle \pm x\) vagy akár a \(\displaystyle \pm y\) irányba is, de 10 perc múlva az origótól mindenképpen 9 km-re lesz. Ezután derékszögben elfordul, és újabb 10 perc alatt további 9 km-t tesz meg. Vegyük észre, hogy bármerre indult is a teherautó, és utána bármerre fordult, mindenképpen az \(\displaystyle x\)-\(\displaystyle y\) koordináta-rendszerben a tengelyek \(\displaystyle 45\,^\circ\)-os szögfelezőjére kerül, az origótól \(\displaystyle \sqrt{2}\cdot\,9\,\mathrm{km}\)-re. A teherautó koordinátái a következők lehetnek: (\(\displaystyle \pm 9;\,\pm 9\)), ami összesen négy esetet ír le.

A feladatban a két jármű távolságát kell kiszámítani az indulástól számított 20 perc elteltekor. Az \(\displaystyle x\) tengelyre vonatkozó tükörszimmetria miatt beláthatjuk, hogy a járművek távolságát tekintve összesen két eset van. Vagy a (24; 0) és a (9; 9) pont távolságát, vagy pedig a (24; 0) és a (-9; 9) pont távolságát kell meghatároznunk. A két távolság a következő:

\(\displaystyle \sqrt{(24-9)^2+9^2}=17{,}5\,\mathrm{km},\)

illetve

\(\displaystyle \sqrt{(24+9)^2+9^2}=34{,}2\,\mathrm{km}.\)

Statistics:

58 students sent a solution.
3 points:	Antal Áron, Bakonyi Zsombor Attila, Barth Albert Krisztián, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Bús László Teodor, Field Márton, Fülöp Magdaléna, Görög Csanád Botond, Havas Dániel, Hollósi Dominik, Jávor Botond, Kis Boglárka 08, Méhes Mátyás , Milovecz Fruzsina Panka, Porcsin Gréta, Sipos Dániel Sándor, Sógor-Jász Soma, Szabó 926 Bálint, Szabó András, Szabó Márton, Táborosi Sára, Tajta Sára, Varga 511 Vivien, Zámolyi Norbert.
2 points:	Bohner Emese, Bora Ádám, Csáki Anikó, Havasi Gergely, He Stefan, Horváth Kristóf Dominik, Hrubi kristóf, Kisida Kata, Marosi Hella Rita, Németh Ábel, Papp Emese Petra, Páternoszter Tamás, Sárecz Bence, Szabó 926 Bence, Ta Minh Khoa, Vincze Anna, Vízhányó Janka, Wolf Erik, Zhang Yan.
1 point:	6 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	6 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, March 2024