Problem G. 847. (March 2024)

G. 847. A resistor of resistance \(\displaystyle R_1=1~\text{M}\Omega\) is connected in parallel with another resistor \(\displaystyle R_2\), and then gradually more resistors \(\displaystyle R_3, R_4, \ldots R_n\) are connected in parallel. In each step, the values of the equivalent resistance of the resistors are given as follows:

\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle \frac{1}{2}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \frac{1}{3}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \frac{1}{4}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle \frac{R_1}{n}\);

\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle \frac{1}{2}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \frac{1}{4}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \frac{1}{8}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle \frac{R_1}{2^n}\);

\(\displaystyle c)\) \(\displaystyle \frac{1}{1\cdot2}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \frac{1}{1\cdot2\cdot3}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle \frac{R_1}{n!}\).

In each case, what are the resistances of the resistors \(\displaystyle R_2,R_3,~\ldots,R_n\)?

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Közismert, hogy ha \(\displaystyle n\) egyforma, \(\displaystyle R\) értékű ellenállást párhuzamosan kapcsolunk, akkor az eredő ellenállás \(\displaystyle \frac{R}{n}\) lesz. Ennek megfelelően, ha azt akarjuk, hogy az eredeti \(\displaystyle R\) ellenállás felét, harmadát, negyedét, \(\displaystyle \frac{1}{n}\)-ed részét kapjuk, akkor mindig újabb és újabb ugyanakkora, \(\displaystyle R_1=1\,\mathrm{M}\Omega\) értékű ellenállást kell párhuzamosan hozzákapcsolnunk a többihez.

\(\displaystyle b)\) Ha az első \(\displaystyle R_1\) ellenálláshoz egy ugyanakkorát kapcsolunk párhuzamosan, akkor az eredő ellenállás a fele lesz, vagyis \(\displaystyle R_1/2\). Ehhez a kettőhöz viszont egy \(\displaystyle R_1/2\) értékű ellenállást kell kötnünk, hogy a három eredője \(\displaystyle R_1/4\) legyen. Ezt folytatva a harmadik hozzákapcsolt ellenállásnak \(\displaystyle R_1/4\) értékűnek kell lennie ahhoz, hogy az immár négy tagból álló kapcsolásnak \(\displaystyle R_1/8\) legyen az eredője. A meglévőkhöz párhuzamosan hozzákapcsolt ellenállások sorozata tehát ez:

\(\displaystyle R_2=R_1,\,R_3=R_1/2,\,R_4=R_1/4,\,R_5=R_1/8,\,R_6=R_1/16,\,\ldots,\,R_n=R_1/2^{(n-2)}.\)

\(\displaystyle c)\) Keressük azt az \(\displaystyle R_n\) ellenállást, amit az előzőkhöz kapcsolva teljes eredőként \(\displaystyle \frac{R_1}{n!}\) értéket kapunk. A feladat szerint az előzők eredője \(\displaystyle \frac{R_1}{(n-1)!}\). A párhuzamos kapcsolás formulája szerint a következő összefüggést írhatjuk fel:

\(\displaystyle \frac{1}{\frac{R_1}{(n-1)!}}+\frac{1}{R_n}=\frac{1}{\frac{R_1}{n!}},\)

amiből

\(\displaystyle R_n=\frac{1}{\frac{1}{\frac{R_1}{n!}}-\frac{1}{\frac{R_1}{(n-1)!}}}=\frac{R_1}{n!-(n-1)!}=\frac{R_1}{(n-1)[(n-1)!]}.\)

Tehát a kérdéses sorozat a következő:

\(\displaystyle R_2=R_1,\,R_3=R_1/4,\,R_4=R_1/18,\,R_5=R_1/96,\,\ldots,\,R_n=\frac{R_1}{(n-1)[(n-1)!]}.\)

Behelyettesítéssel tudjuk ellenőrizni, hogy az általános képlet jól működik a sorozat első néhány tagja esetében.

Statistics:

40 students sent a solution.
4 points:	Antal Áron, Barth Albert Krisztián, Bora Ádám, Kisida Kata, Sógor-Jász Soma, Szabó 926 Bálint, Szabó 926 Bence, Szabó András, Szabó Márton, Ta Minh Khoa, Tajta Sára, Vincze Anna.
3 points:	Bohner Emese, Bús László Teodor, Fülöp Magdaléna, Havas Dániel, Horváth Kristóf Dominik, Németh Ábel, Papp Emese Petra, Varga 511 Vivien.
2 points:	7 students.
1 point:	4 students.
0 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, March 2024