Problem G. 848. (March 2024)

G. 848. From the surrounding air a thin beam of light enters to a long, right cylinder, made of some transparent material, at the centre of the base of the cylinder. What can the refractive index of the cylinder's material be in order that the beam of light cannot emerge to the air from the cylinder through the lateral surface of the cylinder?

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A vékony fénysugár törése és visszaverődése abban a síkban történik, ami tartalmazza az egyenes henger szimmetriatengelyét (ami egyben a henger alaplapján a beesési merőleges is). Az ábra ezt a helyzetet mutatja, a téglalap alsó oldala a henger alaplapjának egyik átmérője, míg a két függőleges oldal a henger két szemközti alkotójának felel meg. Akkor nem történik teljes visszaverődés a henger palástján, vagyis akkor lép ki a fénysugár, ha az ottani beesési szög (\(\displaystyle 90^{\circ}-\beta\)) elegendően kicsi, vagyis \(\displaystyle \sin{(90^{\circ}-\beta)}\leq 1/n\), ahol \(\displaystyle n\) a henger anyagának levegőre vonatkoztatott törésmutatója.

A palásthoz tartozó \(\displaystyle 90^{\circ}-\beta\) beesési szög akkor kicsi, ha az alaplapon a \(\displaystyle \beta\) törési szög nagy. A legnagyobb \(\displaystyle \beta\) törési szöghöz az alaplapon \(\displaystyle 90^{\circ}\)-os beesési szög tartozik (ez valójában csak elvi határ, mert \(\displaystyle 90^{\circ}\)-os beesési szög esetén a megtört nyaláb intenzitása nulla). Határesetben tehát \(\displaystyle \beta\) maximumára ezt írhatjuk fel: \(\displaystyle \sin{\beta_\mathrm{max}}=1/n\).

Vonjuk össze a fenti két feltételt:

\(\displaystyle \sin{(90^{\circ}-\beta_\mathrm{max})}=\cos{\beta_\mathrm{max}}\leq 1/n=\sin{\beta_\mathrm{max}}.\)

Ebből az következik, hogy \(\displaystyle \tg{\beta_\mathrm{max}}\geq 1\), vagyis a \(\displaystyle \beta_\mathrm{max}\) szögnek nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lenni \(\displaystyle 45^{\circ}\)-nál. Egyenlőség esetén \(\displaystyle n=\sqrt{2}\), egyébként a henger anyagának a levegőre vonatkoztatott törésmutatójának ennél kisebbnek kell lenni:

\(\displaystyle \beta_\mathrm{max}\geq 45^\circ\quad\rightarrow\quad 1/n=\sin\beta_\mathrm{max}\geq\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\rightarrow\quad n\leq\sqrt{2}\approx 1{,}41.\)

Megállapíthatjuk tehát, hogy amennyiben a henger anyagának a törésmutatója \(\displaystyle \sqrt{2}\)-nél nagyobb, akkor a henger alaplapján belépő fénysugár semmilyen esetben sem léphet ki a henger palástján, hanem teljes visszaverődés történik. Érdekességként megemlítjük, hogy akármilyen fajta üvegből is készül a henger, a fénysugár nem lép ki a palástján, mert nincs olyan üveg, amelynek \(\displaystyle \sqrt{2}\)-nél kisebb lenne a törésmutatója (a legtöbb üveg törésmutatója \(\displaystyle 1{,}5\) és \(\displaystyle 1{,}6\) közötti érték).

Statistics:

31 students sent a solution.
4 points:	Barth Albert Krisztián, Blaskovics Ádám, Fülöp Magdaléna, Porcsin Gréta.
3 points:	Bús László Teodor, Jávor Botond, Kis Boglárka 08, Kisida Kata, Szabó András.
2 points:	1 student.
1 point:	4 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, March 2024