Problem K/C. 828. (October 2024)

K/C. 828. Is it possible to find two positive integers such that the sum of their squares equals their smallest common multiple?

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a két pozitív egész számot \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle [a;b] \leq ab\), így \(\displaystyle a^2 + b^2 \leq ab\) kell teljesüljön. Továbbá igaz, hogy \(\displaystyle a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab \geq 2ab\). Így aztán az \(\displaystyle ab \geq a^2 + b^2 \geq 2ab\) feltételt kapjuk, ami csak \(\displaystyle ab = 0\) esetén teljesülhet. Ekkor viszont \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) nem lehetne pozitív egész szám. Tehát nincs két olyan pozitív egész szám, melyek négyzetösszege megegyezik a legkisebb közös többszörösükkel.

Statistics:

239 students sent a solution.
5 points:	89 students.
4 points:	28 students.
3 points:	13 students.
2 points:	16 students.
1 point:	25 students.
0 point:	21 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	35 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2024