Problem K/C. 833. (November 2024)

K/C. 833. A rectangle-shaped piece of paper is given with dimensions \(\displaystyle 20~\mathrm{cm}\times 30~\mathrm{cm}\), according to the figure. Folding vertex \(\displaystyle A\) over vertex \(\displaystyle C\), the line across we folded intersects sides \(\displaystyle AB\) and \(\displaystyle CD\) in points \(\displaystyle P\) and \(\displaystyle Q\). Prove that quadrilateral \(\displaystyle APCQ\) is a rhombus, and compute its area.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Az \(\displaystyle A\) csúcs \(\displaystyle C\) csúcsra hajtásakor a hajtásvonal merőlegesen felezi a \(\displaystyle K\) pontban az \(\displaystyle AC\) átlót, mert az \(\displaystyle APQD\) négyszöget \(\displaystyle PQ\)-ra tengelyesen tükrözve kapjuk a \(\displaystyle CPQD'\) négyszöget. Másrészt a \(\displaystyle K\) ponton átmenő \(\displaystyle PQ\) szakaszt is felezi a \(\displaystyle K\) pont, mert a téglalap középpontosan szimmetrikus négyszög. Így \(\displaystyle AKQ\), \(\displaystyle AKP\), \(\displaystyle CKP\) és \(\displaystyle CKQ\) egybevágó derékszögű háromszögek, mert a befogóik páronként egyenlő hosszúak. Ezért az átfogóik is egyenlő nagyságúak, azaz \(\displaystyle AQ=CQ=CP=AP\), tehát beláttuk, hogy az \(\displaystyle APCQ\) négyszög rombusz.

Legyen \(\displaystyle PB=x\), ekkor \(\displaystyle AP=PC=30-x\). A \(\displaystyle PCB\) derékszögű háromszögben felírva a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle x^2+20^2=(30-x)^2\), ahonnan \(\displaystyle x=25/3\), így a rombusz oldala \(\displaystyle 30-25/3=65/3\) cm hosszú, területe pedig \(\displaystyle T=65/3\cdot20=1300/3 \textrm{~cm}^2 \approx 433,33 \textrm{~cm}^2\).

Statistics:

195 students sent a solution.
5 points:	70 students.
4 points:	30 students.
3 points:	21 students.
2 points:	27 students.
1 point:	9 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	29 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2024