Problem K/C. 838. (December 2024)
K/C. 838. Can the difference of the square of two prime numbers be 2024?
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás. \(\displaystyle 2024 = 2^3\cdot11\cdot23\), a prímeket jelölje \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\).
\(\displaystyle p^2-q^2=2024,\)
\(\displaystyle (p+q)(p-q)=2024,\)
\(\displaystyle 2024=1\cdot2024=2\cdot1012=4\cdot506=8\cdot253=11\cdot184=22\cdot92=23\cdot88=44\cdot46.\)
Mivel \(\displaystyle p+q > p-q\), valamint \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) biztosan páratlan prímek (\(\displaystyle q\) nem lehet 2), így az összegük és a különbségük is páros, így a 2024 lehetséges felbontása, illetve \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) lehetséges értékei:
| \(\displaystyle p+q\) | 1012 | 506 | 92 | 46 |
| \(\displaystyle p-q\) | 2 | 4 | 22 | 44 |
| \(\displaystyle p\) | 507 | 255 | 57 | 45 |
| \(\displaystyle q\) | 505 | 251 | 35 | 1 |
Mivel egyik esetben sem kapunk prímszámokat, így beláttuk, hogy nem lehet két prímszám négyzetének különbsége 2024.
2. megoldás. A prímek között a 3 nem szerepel, mert \(\displaystyle 2024+3^2\) nem prímnégyzet.
Minden más prím 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad, ezért a négyzetük 3-mal osztva 1 maradékot ad. Két prímnégyzet különbsége így 3-mal osztható szám. A 2024 nem osztható 3-mal, így nem lehet két prímszám négyzetének a különbsége.
Statistics:
214 students sent a solution. 5 points: 98 students. 4 points: 37 students. 3 points: 12 students. 2 points: 18 students. 1 point: 11 students. 0 point: 7 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 24 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2024