Problem K/C. 847. (February 2025)

K/C. 847. How many non-empty subsets of the set \(\displaystyle \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) have the property that the product of its elements is even and also the sum of its elements is even?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A 9 elemű halmaznak \(\displaystyle 2^{9}-1=511\) nemüres részhalmaza van. Mivel \(\displaystyle 5\) páratlan szám van, ezért \(\displaystyle 2^{5}-1=31\) olyan nemüres részhalmaz létezik, melyben minden elem páratlan, tehát ezen számok szorzata is páratlan.

Azokat a részhalmazokat keressük, melyekben páros sok páratlan szám van és legalább egy páros szám. A négy páros szám közül legalább egy páros számot \(\displaystyle 2^{4}-1=15\)-féleképpen választhatunk. Mindegyik választás esetén nulla darab páratlan számot \(\displaystyle 1\)-féleképpen, kettő páratlan számot \(\displaystyle \displaystyle{\frac{5\cdot4}{2}=10}\)-féleképpen, négy páratlan számot pedig 5-féleképpen választhatunk (az egyik páratlan számot nem választjuk ki). Így a keresett részhalmazok száma \(\displaystyle 15\cdot(1+10+5)=240\).

Statistics:

204 students sent a solution.
5 points:	118 students.
4 points:	26 students.
3 points:	7 students.
2 points:	6 students.
1 point:	12 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	22 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2025