Problem K/C. 853. (March 2025)
K/C. 853. The length of the sides of the bases of a regular hexagon based right prism is \(\displaystyle a\), and the length of its height is \(\displaystyle b\). Let's add together the lengths of all the diagonals of all the bases and all the joining faces of the prism. For what value of \(\displaystyle {\frac{a}{b}}\) will the sum equal \(\displaystyle 12(a\sqrt{3}+3b)\)?
Proposed by: Bálint Róka, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on April 10, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az alábbi ábrán az egyenes hasáb egy oldallapját, vagyis egy \(\displaystyle a\), illetve \(\displaystyle b\) oldalú téglalapot, valamint az alaplapját, tehát egy \(\displaystyle a\) oldalú szabályos hatszöget ábrázoltunk.
A hasáb palástját \(\displaystyle 6\) darab, az ábrán megrajzolt egybevágó téglalap alkotja. A téglalapnak két átlója van, amelyek hossza a Pitagorasz-tétel miatt \(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}\). A hasáb palástját alkotó \(\displaystyle 6\) lap átlóinak összege ezért
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 12\sqrt{a^2+b^2}.\) |
A hasáb alapját jelentő szabályos hatszögnek összesen \(\displaystyle \displaystyle{\frac{6\cdot3}{2}=9}\) átlója van. A hatszög egy csúcsából kétféle hosszúságú átló indul ki, két rövidebb, amelyek hossza a hatszög szimmetriája miatt egyenlő, és egy hosszabb. Az utóbbi átló hossza nyilvánvalóan \(\displaystyle 2a\), hiszen a hatszöget hat darab \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög alkotja, és mivel a \(\displaystyle 2a\) hosszúságú átlóból a szabályos hatszögben \(\displaystyle 3\) van, így azok összes hossza \(\displaystyle 6a\).
Ha a rövidebb átló hosszát \(\displaystyle 2c\)-vel jelöljük, akkor a hatszög két szomszédos szabályos háromszögének közös oldala ezt az átlót merőlegesen felezi, így kapjuk az ábrán látható derékszögű háromszöget, amelynek átfogója \(\displaystyle a\), a \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szöggel szemben fekvő befogója \(\displaystyle c\) hosszúságú. Ez a derékszögű háromszög egy szabályos háromszög fele, ezért \(\displaystyle \displaystyle{c=\frac{a}{2}\sqrt{3}}\), tehát \(\displaystyle 2c=a\sqrt{3}\).
A \(\displaystyle 2c\) hosszúságú rövidebb átlóból a szabáyos hatszögben összesen \(\displaystyle 6\) darab van, így ezek összes hossza \(\displaystyle 6a\sqrt{3}\).
Mivel a hasábnak két egybevágó szabályos hatszög alaplapja van, ezért ezek összes átlóinak hosszát összeadva a
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 12a+12a\sqrt{3}\) |
értéket kapjuk.
Így az összes alap- és oldallap minden átlója hosszainak összege (1) és (2) figyelembevételével
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle 12\Big(\sqrt{a^2+b^2}+a+a\sqrt{3}\Big).\) |
Már csak arra kell válaszolnunk, hogy a (3) összeg milyen \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}}\) arány mellett lesz \(\displaystyle 12\big(a\sqrt{3}+3b\big)\)-vel egyenlő.
A \(\displaystyle 12\big(\sqrt{a^2+b^2}+a+a\sqrt{3}\big)=12\big(a\sqrt{3}+3b\big)\) egyenlőségből \(\displaystyle 12\)-vel való osztás és rendezés után a
\(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}=3b-a\)
összefüggést kapjuk, ahol \(\displaystyle 3b-a>0\) kell hogy legyen. Innen négyzetreemeléssel adódik, hogy \(\displaystyle a^2+b^2=9b^2-6ba+a^2\).
Rendezéssel és egyszerűsítéssel:
\(\displaystyle 3a=4b.\)
Ez azt jelenti, hogy a hasáb összes lapja minden átlójának hosszát összeadva akkor kaphatunk \(\displaystyle 12\big(a\sqrt{3}+3b\big)\) értéket, ha a hasáb \(\displaystyle a\) alapélének és \(\displaystyle b\) magasságának aránya \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{4}{3}}\).
Megjegyzés. Az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{4}{3}}\) arányból következő \(\displaystyle \displaystyle{a=\frac{4}{3}b}\) mellett a \(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}=3b-a\) egyenlet mindkét oldalának értéke \(\displaystyle \displaystyle{\frac{5}{3}b}\).
Ez megfelel a \(\displaystyle 3b-a>0\) feltételnek.
Statistics:
159 students sent a solution. 5 points: Aaishipragya Kahaly, Békési Máté, Farkas Noémi , Hajnal Ákos Huba, Kovács Domonkos, Papp Máté Milán, Szmodics Emese Anna. 4 points: 108 students. 3 points: 13 students. 2 points: 4 students. 1 point: 1 student. Not shown because of missing birth date or parental permission: 19 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2025