Problem K/C. 862. (May 2025)

K/C. 862. a) Prove that the fraction below can be simplified (i.e., its numerator and denominator are not relatively prime) for every positive integer \(\displaystyle n\): \(\displaystyle {\frac{6n^2+13n+6}{15n^2+22n+8}}\).

b) Find those positive integers for which the fraction \(\displaystyle {\frac{2n+3}{5n+4}}\) cannot be simplified, i.e., its numerator and denominator are relatively prime.

Proposed by: Bálint Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) A számlálót a középső tényező szétbontásával és többszöri kiemeléssel szorzattá alakíthatjuk a következőképpen:

\(\displaystyle 6n^2+13n+6=6n^2+9n+4n+6=3n(2n+3)+2(2n+3),\)

innen pedig

A nevezőt hasonlóképpen bonthatjuk szorzattá:

\(\displaystyle 15n^2+22n+8=15n^2+12n+10n+8=3n(5n+4)+2(5n+4),\)

amelyből

Az (1) és (2) összefüggésekből következik, hogy

\(\displaystyle \displaystyle{\frac{6n^2+13n+6}{15n^2+22n+8}=\frac{(2n+3)(3n+2)}{(5n+4)(3n+2)}=\frac{2n+3}{5n+4}},\)

tehát az eredeti tört a \(\displaystyle 3n+2\) tényezővel egyszerűsíthető, vagyis a számláló és a nevező valóban nem relatív prímek.

b) A kérdésre úgy is válaszolhatunk, hogy megadjuk az \(\displaystyle n\) pozitív egészek azon \(\displaystyle H\) halmazát, amelyekre a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{2n+3}{5n+4}}\) tört egyszerűsíthető, és így a feladat megoldáshalmaza \(\displaystyle N^+\setminus H\).

Legyen a tört számlálójának és nevezőjének legnagyobb közös osztója \(\displaystyle d\). Ekkor \(\displaystyle d\mid 5n+4\), és \(\displaystyle d\mid 2n+3\), ekkor \(\displaystyle d\) osztója a különbségüknek is, azaz

Mivel \(\displaystyle d\mid 3n+1\) és \(\displaystyle d\mid 2n+3\), ezért \(\displaystyle d\) osztója a két kifejezés különbségének, vagyis

A \(\displaystyle d\mid 2n+3\) és \(\displaystyle d\mid n-2\) miatt \(\displaystyle d\) ismét osztója a két szám különbségének, tehát

Végül \(\displaystyle d\mid n+5\) és \(\displaystyle d\mid n-2\) miatt \(\displaystyle d\) ezúttal is osztója a két kifejezés különbségének, azaz

A (4) eredmény pontosan azt jelenti, hogy \(\displaystyle d=1\) vagy \(\displaystyle d=7\).

Ha \(\displaystyle d=1\), akkor a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{2n+3}{5n+4}}\) tört nem egyszerűsíthető. Ha pedig \(\displaystyle d=7\), akkor a tört egyszerűsíthető, éspedig \(\displaystyle 7\)-tel. Az is látható (2)-ből, hogy ebben az esetben \(\displaystyle n-2=7k,\quad \big(k\in N\big)\), azaz

Tehát az \(\displaystyle n\) pozitív egész szám \(\displaystyle 7\)-tel osztva \(\displaystyle 2\) maradékot ad.

Ezért azok az \(\displaystyle n\) számok, amelyekre a tört egyszerűsíthető, éppen a \(\displaystyle 7k+2\) alakú pozitív egészek, vagyis a \(\displaystyle H\) halmaz elemei \(\displaystyle H=\{2, 9, 16, 23,...\}\).

A feladat megoldását jelentő számok, vagyis azok, amelyekre a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{2n+3}{5n+4}}\) tört nem egyszerűsíthető, az

\(\displaystyle \displaystyle{N^+\setminus \{2, 9, 16, 23,...\}}\)

halmazba tartozó pozitív egészek.

Megjegyzések. 1) A megoldásban az \(\displaystyle 5n+4\) és \(\displaystyle 2n+3\) számokra az euklideszi algoritmust alkalmaztuk.

2) A (4) eredményhez úgy is eljuthatunk, hogy \(\displaystyle d\mid 2(5n+4)\) és \(\displaystyle d\mid 5(2n+3)\) miatt \(\displaystyle d\) osztója a különbségüknek, azaz \(\displaystyle d\mid 7\).

Statistics:

111 students sent a solution.
5 points:	52 students.
4 points:	15 students.
3 points:	17 students.
2 points:	11 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	8 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2025