Problem K/C. 868. (September 2025)

K/C. 868. We have written a different digit on each of five number cards. First we've arranged the five cards such that we have obtained the largest possible five digit number, and then we have arranged them such that we have obtained the smallest possible five digit number. The sum of the two numbers we have obtained this way is \(\displaystyle 96\,478\). Find the five digits we have written on the five cards. (The number cards must not be rotated – so, for example, you may not turn a 9 into a 6.)

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Két esetet kell megkülönböztetnünk: ha a számjegyek között szerepel a \(\displaystyle 0\), vagy ha nem szerepel.

1. eset. A számjegyek csökkenő sorrendben \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), \(\displaystyle 0\). Ekkor a legnagyobb ötjegyű szám az \(\displaystyle \overline{abcd0}\), a legkisebb pedig a \(\displaystyle \overline{d0cba}\). Ezek összege \(\displaystyle 10000(a+d)+1000b+200c+10(b+d)+a=96478\). Mivel az első négy tag osztható \(\displaystyle 10\)-zel, ezért csak \(\displaystyle a= 8\) lehetséges. Visszahelyettesítve és rendezve az \(\displaystyle 1000d+100b+20c+b+d=1647\) összefüggést kapjuk. Itt csak \(\displaystyle d=1\) lehetséges, hogy ne haladjuk meg a \(\displaystyle 2000\)-et, de ekkor az egyes helyiérték miatt \(\displaystyle b=6\), majd visszahelyettesítés után \(\displaystyle c= 2\) adódik. Tehát a számkártyákon ebben az esetben a \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 0\) számjegyek álltak.

2. eset. A számjegyek közt nem szerepel a \(\displaystyle 0\), a számjegyek csökkenő sorrendben \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), \(\displaystyle e\). Ekkor a legnagyobb \(\displaystyle \overline{abcde}\) és a legkisebb \(\displaystyle \overline{edcba}\) számok összege \(\displaystyle 10001(a+e)+1010(b+d)+200c=96478\). Az egyesek miatt \(\displaystyle a+e = 8\) vagy \(\displaystyle 18\), de ez utóbbi sok lenne. Visszahelyettesítve az \(\displaystyle a+e = 8\) értéket és rendezve az \(\displaystyle 1647 = 101(b+d)+20c\) összefüggést kapjuk. Az egyes helyiérték miatt \(\displaystyle b+d=7\) vagy \(\displaystyle 17\), ez utóbbi viszont ismét sok. Visszahelyettesítve a \(\displaystyle b+d=7\) értéket, \(\displaystyle c=47\) adódik, ami nem jelent megoldást. Így a feladat feltételeinek csak az 1. esetben kapott számkártyák felelnek meg.

Statistics:

280 students sent a solution.
5 points:	91 students.
4 points:	35 students.
3 points:	48 students.
2 points:	52 students.
1 point:	20 students.
0 point:	18 students.
Unfair, not evaluated:	12 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2025