Problem K/C. 877. (November 2025)

K/C. 877. Fill in the diagram with numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 in a way that in the three grey parts containing four small triangles the product of the numbers is a perfect square. How many ways are there to achieve this?

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Töltsük ki a kis háromszögeket az 1-es és 2-es számokkal a következőképpen:

A kis háromszögekben lévő számok azt mutatják meg, hogy az adott kis háromszögbe írt szám hány részszorzatban szerepel. Azokat a számokat, amelyeket a helyette 2-vel jelölt mezőkbe írunk majd, az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 közül tetszőlegesen választhatjuk, hiszen kétszer véve őket, a szorzatuk négyzetszám lesz. Mivel a többi hat háromszögbe írt számot csak egyszer vesszük, így meg kell keresni azt a hat számot az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 között, melyek szorzata négyzetszám.

Az 5 és 7 nem lehet e hat szám között, mert nincs más szám 1-től 9-ig, amely 5-tel vagy 7-tel osztható.

Kérdés, hogy az 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 közül melyiket hagyjuk el úgy, hogy a megmaradó hat szám szorzata négyzetszám legyen?

Egy négyzetszám prímtényezős felbontásában minden prím kitevője páros szám kell, legyen, így mivel \(\displaystyle 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot6\cdot8\cdot9=2^7\cdot3^4\), tehát a 2-t, vagy a 8-at kell elhagyni.

Eszerint az 1-gyel jelölt mezőkbe mehet az 1, 3, 4, 6, 8, 9 és a 2-essel jelöltekbe a 2, 5, 7 vagy az 1-gyel jelölt mezőkbe mehet az 1, 2, 3, 4, 6, 9 és a 2-essel jelöltekbe az 5, 7, 8.

A hat 1-gyel jelölt mezőt 6!-féleképpen, a többi három mezőt 3!-féleképpen tölthetjük ki az oda kiválasztott számokkal. A kitöltési lehetőségek száma ezért \(\displaystyle 2\cdot6!\cdot3!=8640\).

Statistics:

222 students sent a solution.
5 points:	132 students.
4 points:	30 students.
3 points:	13 students.
2 points:	8 students.
1 point:	13 students.
0 point:	25 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2025