Problem K/C. 878. (November 2025)

K/C. 878. How many four-digit positive integers divisible by 91 are there that contain exactly two different kinds of digits, with each digit appearing exactly twice?

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a négyjegyű szám \(\displaystyle \overline{aabb}\) alakú: \(\displaystyle \overline{aabb} = 1100a+11b=11(100a+b)\).

Mivel \(\displaystyle 91=7\cdot13\) és a 11 relatív prím a 7-hez és a 13-hoz, így \(\displaystyle 100a+b\) osztható 91-gyel de ilyen háromjegyű szám nincs. (A 91 többszörösei: 91, 182, 273, 364, 455, 546, 637, 728, 819, 910.)

Ha a négyjegyű szám \(\displaystyle \overline{abab}\) alakú: \(\displaystyle \overline{abab} =ab\cdot101\).

Mivel a 91 és a 101 relatív prímek, így \(\displaystyle \overline{ab} =91\). A négyjegyű szám tehát lehet 9191.

Ha a négyjegyű szám \(\displaystyle \overline{aabb}\) alakú: \(\displaystyle \overline{aabb}=1001a+110b=11\cdot(91a+10b)\).

Mivel \(\displaystyle 91=7\cdot13\) és a 11 relatív prím a 7-hez és a 13-hoz, így \(\displaystyle 91a+10b\) osztható 91-gyel.

Mivel \(\displaystyle 91a\) osztható 91-gyel, így \(\displaystyle 10b\) is osztható 91-gyel, ami csak \(\displaystyle b=0\) és \(\displaystyle a=1\), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lehetséges. A négyjegyű szám tehát lehet 1001, 2002, 3003, \(\displaystyle \ldots\), 9009.

Összesen 10 ilyen négyjegyű szám van.

Statistics:

297 students sent a solution.
5 points:	154 students.
4 points:	33 students.
3 points:	13 students.
2 points:	42 students.
1 point:	44 students.
0 point:	8 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2025