Problem K/C. 882. (December 2025)

K/C. 882. Inside regular dodecagon \(\displaystyle ABCDEFGHIJKL\) we draw squares on diagonals \(\displaystyle AC\) and \(\displaystyle FH\). Prove that the two squares share a common vertex.

(5 pont)

Deadline expired on January 12, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szabályos tizenkétszög középpontja legyen \(\displaystyle O\). Az \(\displaystyle OAC\) és \(\displaystyle OFH\) szabályos háromszögek, mert \(\displaystyle OA=OC=OF=OH=r\), a tizenkétszög köré írt kör sugara, illetve például \(\displaystyle AOC\sphericalangle=\dfrac{360^{\circ}}{12}\cdot2=60^{\circ}\).

Az \(\displaystyle AC\) átlóra írt négyzet legyen \(\displaystyle ACPQ\), az \(\displaystyle FH\) átlóra írt négyzet legyen \(\displaystyle FHRS\). Szeretnénk belátni, hogy \(\displaystyle Q=R\). Mivel az ábra szimmetrikus a \(\displaystyle DE\) oldal \(\displaystyle t\) felezőmerőlegesére, így elég belátni, hogy \(\displaystyle Q\) rajta van ezen a szimmetriatengelyen, mert akkor \(\displaystyle R\) is hasonlóképpen, így a két pont ugyanaz a pont.

Az \(\displaystyle AOQ\) háromszög egyenlő szárú, mert \(\displaystyle AO=AQ\) a négyzet oldala, szögeinek nagysága rendre \(\displaystyle 30^{\circ}\), \(\displaystyle 75^{\circ}\), \(\displaystyle 75^{\circ}\). Az \(\displaystyle OAB\) háromszög is egyenlő szárú, szögei ugyanígy \(\displaystyle 30^{\circ}\), \(\displaystyle 75^{\circ}\), \(\displaystyle 75^{\circ}\)-osak. A két egyenlő szárú háromszögnek közös szára az \(\displaystyle AO\), így egybevágó háromszögek. Ezért \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle OQ\) párhuzamosak. Így, mivel \(\displaystyle t\) párhuzamos \(\displaystyle AB\)-vel, így \(\displaystyle Q\) rajta van \(\displaystyle t\)-n. Ezzel az állítást beláttuk.

Statistics:

157 students sent a solution.
5 points:	61 students.
4 points:	22 students.
3 points:	8 students.
2 points:	17 students.
1 point:	20 students.
0 point:	28 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2025