Problem K/C. 887. (January 2026)

K/C. 887. Which three-digit number satisfies \(\displaystyle \overline{xyz}=x!+y!+z!\)? (\(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) and \(\displaystyle z\) denote the digits of the three-digit numbers, and \(\displaystyle n!\) denotes the product of numbers between \(\displaystyle 1\) and \(\displaystyle n\), while \(\displaystyle 0!=1!=1\).)

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle 7! = 5040\), ezért nyilván egyik számjegy sem lehet \(\displaystyle 7\) vagy annál nagyobb. Továbbá \(\displaystyle 6! = 720\) miatt \(\displaystyle 6\) sem lehet egyik számjegy sem, hiszen akkor kellene \(\displaystyle 7\) vagy annál nagyobb számjegy is. A \(\displaystyle 4!\) viszont csak \(\displaystyle 24\), aminek háromszorosa sem háromjegyű szám, így \(\displaystyle 5\)-ös biztosan van a számjegyek között.

Mivel \(\displaystyle 5! + 5! + 5!=360\), így \(\displaystyle 555 \neq 5! + 5! + 5!\), így legfeljebb két \(\displaystyle 5\)-ös lehet.

Ha kettő lenne, akkor \(\displaystyle 264 = 5! + 5! + 4! > 5! + 5! + 0! = 241\) miatt biztos, hogy az első számjegy \(\displaystyle 2\). Ugyanakkor \(\displaystyle 2! + 5! + 5!=242\neq 255\), vagyis csak egy egy \(\displaystyle 5\)-ös számjegy van.

Ekkor \(\displaystyle 122 = 5! + 0! + 0! < 5! + 4! + 4! = 168\) miatt az első számjegy biztosan \(\displaystyle 1\)-es.

Az \(\displaystyle \overline{xyz}\) háromjegyű számban tehát van egy \(\displaystyle 1\)-es és egy \(\displaystyle 5\)-ös, ezért az \(\displaystyle x!+y!+z!\) összegben az \(\displaystyle 1!+5!=121\)-hez olyan számot kell adnunk, hogy az eredmény pontosan egy \(\displaystyle 5\)-ös számjegyet tartalmazzon, de annál nagyobb számjegye ne legyen.

Ilyen lehet a \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 14\), \(\displaystyle 24\), \(\displaystyle 29\), \(\displaystyle 30\), \(\displaystyle 31\), \(\displaystyle 32\), és \(\displaystyle 33\). Ezek közül csak a \(\displaystyle 24\) faktoriális érték, és ez meg is felel a feltételeknek, hiszen

\(\displaystyle 145 = 1! + 4! + 5!.\)

Statistics:

210 students sent a solution.
5 points:	88 students.
4 points:	43 students.
3 points:	43 students.
2 points:	22 students.
1 point:	12 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2026