Problem K/C. 892. (February 2026)
K/C. 892. We call a number zig-zag number, if (reading it from left to right) its second digit is smaller than its first digit, its third digit is bigger than its second digit, its fourth digit is smaller than its third digit, and so on. How many five-digit zig-zag numbers can be created from digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
(5 pont)
Deadline expired on March 10, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen az ötjegyű cikcakk szám az \(\displaystyle \overline{abcde}\), amelynek minden számjegye az \(\displaystyle A=\{1;2;3;4;5;6;7\}\) halmaz eleme és amelyekre egyrészt a feltételek alapján teljesül, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle a>b;\quad b<c;\quad c>d;\quad d<e,\) |
másrészt a számjegyek ismétlődhetnek, ezt a feladat feltétele megengedi.
Tekintsük a középső számjegyet, vagyis a \(\displaystyle c\)-t. Tekintsük a \(\displaystyle c\)-től balra levő \(\displaystyle a,b\) számokat számpárnak, hasonlóan a \(\displaystyle c\)-től jobbra levő \(\displaystyle d,e\) számokat is számpárnak. A két számpár nyilván független egymástól.
Mivel \(\displaystyle a>b; \quad b<c\) és a számjegyek a feltételek mellett nem feltétlenül különbözők, ezért \(\displaystyle b\) bármilyen értéket felvehet \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle c-1\)-ig, az \(\displaystyle a\) pedig bármilyen értéket felvehet \(\displaystyle b+1\)-től \(\displaystyle 7\)-ig, ez utóbbi éppen \(\displaystyle 7-b\)-féle lehetőség.
Jelöljük a \(\displaystyle c\)-hez képest bal oldali számpárok számát \(\displaystyle P(c)\)-vel, ez az előzőek szerint
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle P(c)=\sum_{b=1}^{c-1}\Big(7-b\Big).\) |
A \(\displaystyle c\)-től jobbra levő \(\displaystyle d,e\) számpár esetén ugyanez a helyzet, \(\displaystyle d<c\) és \(\displaystyle e>d\), eszerint a \(\displaystyle c\)-től jobbra levő lehetséges számpárok száma ugyancsak \(\displaystyle P(c)\), és mivel a \(\displaystyle c\)-hez képest balra, illetve jobbra elhelyezkedő számpárok egymástól függetlenek, ezért adott \(\displaystyle c\)-re a cikcakk számok száma \(\displaystyle \Big[P(c)\Big]^2\), az összes pedig
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle Q=\sum_{c=2}^{7}\Big[P(c)\Big]^2.\) |
Számoljuk ki ezután \(\displaystyle P(c)\)-t minden lehetséges \(\displaystyle c\)-re.
A \(\displaystyle c=1\) nem megfelelő, mert ebben az esetben a \(\displaystyle b<c\) feltétel miatt az \(\displaystyle A=\{1;2;3;4;5;6;7\}\) halmazban nincs megfelelő \(\displaystyle b\) szám.
Ha \(\displaystyle c=2\), akkor csak \(\displaystyle b=1\) lehet, ezért az \(\displaystyle a\) szám a \(\displaystyle \{2;3;4;5;6;7\}\) halmaz eleme, amelynek nyilván nem eleme az \(\displaystyle 1\) az \(\displaystyle a>b\) feltétel miatt, így
\(\displaystyle P(2)=6.\)
Ha \(\displaystyle c=3\), akkor az (1) feltételek miatt \(\displaystyle b=1\) vagy \(\displaystyle b=2\).
A \(\displaystyle c=3, b=1\) esetben az \(\displaystyle a\) értéke \(\displaystyle 7-b=6\)-féle lehet, ha \(\displaystyle c=3, b=2\), akkor \(\displaystyle 7-b=5\), eszerint pedig
\(\displaystyle P(3)=6+5=11.\)
Hasonlóan egyszerűen kiszámolható, hogy ha \(\displaystyle c=4\), akkor \(\displaystyle b=1, b=2\) vagy \(\displaystyle b=3\), ezért
\(\displaystyle P(4)=6+5+4=15,\)
valamint ha \(\displaystyle c=5\), akkor \(\displaystyle b=1;\quad b=2;\quad b=3\) vagy \(\displaystyle b=4\), és így
\(\displaystyle P(5)=6+5+4+3=18.\)
A \(\displaystyle c=6\) esetén \(\displaystyle b=1;\quad b=2;\quad b=3;\quad b=4\) vagy \(\displaystyle b=5\), tehát
\(\displaystyle P(6)=6+5+4+3+2=20.\)
Végül pedig \(\displaystyle c=7\) mellett \(\displaystyle b=1;\quad b=2;\quad b=3;\quad b=4;\quad b=5\) vagy \(\displaystyle b=6\), ebből pedig
\(\displaystyle P(7)=6+5+4+3+2+1=21.\)
Eredményeink szerint tehát a feltételeknek megfelelő cikcakk-számok összes száma
\(\displaystyle Q=P(2)^2+P(3)^2+P(4)^2+P(5)^2+P(6)^2+P(7)^2=6^2+11^2+15^2+18^2+20^2+21^2=1547.\)
Ezzel a megoldást befejeztük.
Statistics:
184 students sent a solution. 5 points: Barát Balázs Botond, Bogoly Zsombor, Bora Ádám, Csécsei Loretta, Csikós Attila, Csutak András, Farkas Réka, Galambos Ádám, Gintner Annabella , Gyúri Benedek, Hegyi Barnabás, Holló Barnabás, Jánosi Bence, Kádár Luca Linda, Kármán Gergely, Kispál Villő, Kovács Dániel József , Kovács Domonkos, Körmöndi Csanád, Kudomrák Lili Anna , Lajkó Linda, Lakatos Emma Éva, Li Tanran, Lippai Dávid, Lovas Márk, Majer Veronika, Makra Zóra Liliána, Máté Zsófia, Mező Bence, Murányi Nimród Máté, Nagypál Katóca, Nguyen Dang Thuy Chi, Rotter Szabolcs, Sándor Bence, Sasvári Zoltán, Szabó Szilárd, Szabó Zoárd, Szamkó Bálint, Szighardt Anna, Szűcs Botond, Tamás Bálint Gábor, Winkler-Antal Dalma, Zita Vivien , Zsilák Márk Péter (44 students). 4 points: Dezső Kincső, Nagy Ádám Kornél , Szabó Helga (3 students). 3 points: 80 students. 2 points: 39 students. 1 point: 14 students. 0 points: 3 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2026