Problem K/C. 893. (February 2026)

K/C. 893. In triangle \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle \angle ABC=15^{\circ}\), \(\displaystyle \angle BCA=30^{\circ}\), and point \(\displaystyle D\) on side \(\displaystyle BC\) satisfies \(\displaystyle \angle ADC=45^{\circ}\). Prove that \(\displaystyle D\) is the midpoint of side \(\displaystyle BC\).

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Válasszuk a \(\displaystyle BC=2a\) jelölést. Bocsássunk merőlegest a \(\displaystyle B\) pontból a \(\displaystyle CA\), az \(\displaystyle A\) pontból a \(\displaystyle BC\) egyenesre, a merőlegesek talppontjai legyenek \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle T\). Tekintsük az alábbi ábrát.

A \(\displaystyle BCA\sphericalangle=BCE\sphericalangle=30^{\circ}\) miatt \(\displaystyle EBC\sphericalangle=60^{\circ}\), tehát a \(\displaystyle BCE\) háromszög egy szabályos háromszög fele, ezért \(\displaystyle BE=a\), valamint \(\displaystyle \displaystyle{EC=2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a\cdot \sqrt{3}}\).

Nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle EBA\sphericalangle=45^{\circ}\), így \(\displaystyle BAE\) egyenlő szárú, derékszögű háromszög, vagyis \(\displaystyle EA=a\), továbbá

\(\displaystyle AC=EC-EA=a\sqrt{3}-a=a\cdot\big(\sqrt{3}-1\big).\)

A \(\displaystyle CAT\) háromszög ugyancsak egy szabályos háromszög fele, ezért \(\displaystyle \displaystyle{AT=a\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\), illetve

\(\displaystyle \displaystyle{TC=a\cdot ({\sqrt{3}-1})\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a\cdot \frac{3-\sqrt{3}}{2}}.\)

Az \(\displaystyle ADT\) háromszög egyenlő szárú derékszögű háromszög, emiatt \(\displaystyle \displaystyle{DT=AT=a\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\).

A \(\displaystyle DC\) szakasz hossza ezzel:

\(\displaystyle \displaystyle{DC=DT+TC=a\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2}+a\cdot \frac{3-\sqrt{3}}{2}=a}.\)

A kapott eredmény szerint \(\displaystyle DC=\frac{BC}{2}\), tehát a \(\displaystyle D\) pont valóban a \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontja. Ezzel a megoldást befejeztük.

Statistics:

174 students sent a solution.
5 points:	53 students.
4 points:	45 students.
3 points:	16 students.
2 points:	15 students.
1 point:	32 students.
0 points:	11 students.
irregular:	1 script.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2026