Problem K/C. 902. (April 2026)

K/C. 902. We have \(\displaystyle 2026\) unit cubes. From these we create the biggest number of compositions that can be obtained by removing the corner cubes of a \(\displaystyle 3\times 3\times 3\) cube. Find the ratio of surface areas of these cornerless compositions and the remaining unit cubes.

Proposed by Bálint Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on May 11, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy \(\displaystyle 3\times3\times3\)-as kocka \(\displaystyle 3^3=27\) kiskockából áll. Ha a \(\displaystyle 8\) sarkot nem ragasztjuk hozzá, akkor az építmény \(\displaystyle 27-8=19\) kiskockát tartalmaz. Mivel \(\displaystyle 2026=106 \cdot 19 +12\), ezért \(\displaystyle 106\) darab építményünk van és \(\displaystyle 12\) kiskocka maradt meg. Mivel a sarkok kihagyásakor a felszín nem változik, így az építmények teljes felszíne: \(\displaystyle A_1=106 \cdot (6 \cdot 3^2) = 5724\) (területegység), a megmaradt \(\displaystyle 12\) darab kiskocka felszíne pedig \(\displaystyle A_2=12 \cdot (6 \cdot 1^2)=72\) (területegység). A keresett arány:

\(\displaystyle \frac{A_1}{A_2}=\frac{5724}{72}=\frac{159}{2}=79,\!5.\)

Statistics:

196 students sent a solution.
5 points:	157 students.
4 points:	25 students.
3 points:	7 students.
2 points:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2026