Problem K/C. 903. (April 2026)

K/C. 903. In a group of twenty-five friend \(\displaystyle 20\) people can play bridge, \(\displaystyle 19\) people can play chess and \(\displaystyle 18\) people van play. How many people can play all three games

a) at least?

b) at most?

Proposed by Katalin Abigél Kozma, Győr

(5 pont)

Deadline expired on May 11, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Kezdjük az a) kérdéssel. Nyilván a legkisebb válasz, ami szóba jöhet, az a \(\displaystyle 0\), vizsgáljuk meg, hogy ez megvalósulhat-e!

Ekkor minden ember a társaságban legfeljebb két sportot űzhet, tehát ha összeadjuk mindenkinél, hogy hány sportot űz, legfeljeb \(\displaystyle 50\)-et kaphatunk. Ennek az összegnek viszont egyenlőnek kell lennie a bridzsezők, sakkozók és go-sok számának összegével, ami \(\displaystyle 57\), ami nem lehetséges.

Eszerint legalább \(\displaystyle 7\) tagnak kell mindhárom sportot űznie, hiszen különben az összegünk kisebb kell, hogy legyen, mint \(\displaystyle 57\). Már csak az a kérdés, hogy lehet-e pont \(\displaystyle 7\) ilyen játékos, ezt egy konstrukcióval mutatjuk meg:

Tehát legalább \(\displaystyle 7\)-en űzik mindhárom sportot ebben a társaságban.

Következzen a b) kérdés, itt a legelső felső becslésünk a \(\displaystyle 18\) lehet, hiszen csak azok tudják mindhárom sportot űzni, akik go-znak is. Megintcsak egy konstrukcióval megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle 18\) tényleg lehetséges megoldás:

Tehát legfeljebb \(\displaystyle 18\)-an űzik mindhárom sportot ebben a társaságban.

Statistics:

217 students sent a solution.
5 points:	81 students.
4 points:	89 students.
3 points:	25 students.
2 points:	11 students.
1 point:	6 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2026