Problem K/C. 907. (May 2026)

K/C. 907. During a house renovation, our next task is to tile a rectangular pantry. We have \(\displaystyle 1\times 1\) square tiles. The side lengths of the pantry are integers (measured in these units). How many tiles are needed if the number of edge tiles (those along the walls or door) is half of the total number of tiles?

Scottish Competition Problem

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a téglalap alakú kamránk oldalhosszait \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) (pozitív egész számok). Mivel minden járólap \(\displaystyle 1 \times 1\)-es méretű, így \(\displaystyle xy\) darab járólapot kell felhasználnunk. A szélső járólapok száma \(\displaystyle 2x+2y-4\), így az alábbi egyenlőség teljesül: \(\displaystyle 2x+2y-4 =\frac{xy}{2}\). Ellenőrizhető, hogy az \(\displaystyle x=4\) nem megoldás, így az átalakítás után az \(\displaystyle y=4+\frac{8}{x-4}\) egyenlőség adódik. Mivel \(\displaystyle y\) egész, így a \(\displaystyle \frac{8}{x-4}\) hányados is egész. Ekkor az \(\displaystyle x\geq1\) feltéte miatt (továbbá amiatt, hogy \(\displaystyle x \neq 4\)) \(\displaystyle x-4\) lehetséges értékei \(\displaystyle -2, -1, 1, 2, 4, 8\).

Ezek közül a \(\displaystyle -2\) és a \(\displaystyle -1\) nem megvalósítható, mert \(\displaystyle y\) negatív lenne. Így az alábbi táblázat foglalja össze az \(\displaystyle (x-4), x, y\) és a felhasználandó járólapok számának \(\displaystyle xy\) megengedett értékeit:

Tehát 48 vagy 60 járólapot kell felhasználni.

Statistics:

129 students sent a solution.
5 points:	Araczki Ádám, Bachesz Kende, Barabás Ákos, Blaskovics Bálint, Buliczka Csombor, Csécsei Loretta, Csikós Attila, Csutak András, Egyedi Bernadett, Farkas Réka, Fukuda-Horváth Soma, Fülöp Menyhért, Gyúri Benedek, Hicsó Máté Kristóf, Holló Barnabás, Jánosi Bence, Kallós Klára, Kelepecz Kornél Zoltán, Körmöndi Csanád, Lovas Márk, Mizsei Márton, Nagy Ádám Máté, Nguyen Dang Thuy Chi, Papp Dénes, Pirkhoffer Bence, Rákóczi Bartos, Sasvári Zoltán, Szabó Zoárd, Szighardt Anna, Szőnyi Artúr, Tamás Bálint Gábor, Ujváry-Menyhárt Adrienn, Winkler-Antal Dalma, Zita Vivien , Zsilák Márk Péter	(35 students).
4 points:	81 students.
3 points:	6 students.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 points:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 script.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2026