Problem K/C. 908. (May 2026)

K/C. 908. Anna has placed a unit disk on the table, and Boglárka has arranged three identical disks around Anna's disk. Every disk on the outside is tangent to Anna's disk and exactly two other disks. Find the radius of Boglárka's disks.

Proposed by Katalin Abigél Kozma, Győr

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Készítsünk ábrát és használjuk a jelöléseit!

A feltételek miatt nyilvánvaló, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög szabályos, továbbá Anna korongjának középpontja az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle CF\) magasságára illeszkedik. Az \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög \(\displaystyle CF\) magasságának hosszát Pitagorasz tételének alkalmazásával határozhatjuk meg:

\(\displaystyle CF^2+FB^2=BC^2, \text{ tehát } CF^2+r^2=(2r)^2, \text{ amiből } CF^2=3r^2,~CF=r\cdot \sqrt{3}.\)

Mivel \(\displaystyle CF=CO+OF\), továbbá \(\displaystyle CO=r+1\), ezért \(\displaystyle OF=CF-CO=r\sqrt{3}-(r+1).\) Most az \(\displaystyle FBO\) háromszögben alkalmazzuk Pitagorasz tételét:

\(\displaystyle OF^2+FB^2=BO^2, \text{ tehát } (r\sqrt{3}-r-1)^2+r^2=(r+1)^2,\)

\(\displaystyle 3r^2+r^2+1-2r^2\sqrt{3}-2r\sqrt{3}+2r+r^2=r^2+2r+1,\)

\(\displaystyle 4r^2-2r^2\sqrt{3}-2r\sqrt{3}=0,\)

Mivel \(\displaystyle r\) pozitív, egyszerűsítünk:

\(\displaystyle r(4-2\sqrt{3})-2\sqrt{3}=0, \text{ amiből } r=\frac{2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}=3+2\sqrt{3}(\approx6,\!464).\)

Statistics:

117 students sent a solution.
5 points:	80 students.
4 points:	25 students.
3 points:	6 students.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.
0 points:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 script.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2026