Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K/C. 697. (September 2021)

K/C. 697. Some of the faces of a cube are coloured red, and then the cube is cut into small cubes of equal size. 45 of the small cubes have no painted faces. How many faces of the original cube were coloured?

(5 pont)

Deadline expired on October 11, 2021.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A festett kocka kisebb kockákra való felvágása után távolítsuk el azokat a külső kockarétegeket, amelyek tartalmaznak festett kockákat! Az így kapott alakzat egy téglatest, amelyben az élek hossza között legfeljebb 2 az eltérés (a kisebb kockák élével számolva az élhosszokat). Mivel a téglatest térfogatát élei hosszának szorzataként számítjuk ki, ezért a 45-öt úgy kell három szám szorzatára bontanunk, hogy a tényezők között legfeljebb 2 legyen az eltérés. Mivel a \(\displaystyle 45\) prímtényezős felbontása \(\displaystyle 3\cdot3\cdot5\), ezért a lehetséges szorzattá bontások (a tényezőket nagyság szerint rendezve): \(\displaystyle 45=1\cdot1\cdot45=1\cdot3\cdot15=1\cdot5\cdot9=3\cdot3\cdot5\). Tehát az egyetlen megfelelő felbontás a \(\displaystyle 3\cdot3\cdot5\). Ebben az esetben az eredeti kocka \(\displaystyle 5\times5\times5\)-ös volt. Mivel két irányból is egy-egy réteget vettünk le, hogy a \(\displaystyle 3\times3\times5\)-ös téglatestet kapjuk, ezért négy lapját kellett befestenünk olyan elrendezésben, hogy két szemközti lapja maradt festetlen.


Statistics:

261 students sent a solution.
5 points:106 students.
4 points:49 students.
3 points:25 students.
2 points:41 students.
1 point:16 students.
0 point:3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2021