Problem K/C. 698. (September 2021)

K/C. 698. Dorothy thought of an integer that is at least 3 and at most 25. Ann named a one-digit even number \(\displaystyle x\), and asked Dorothy whether her number is a perfect square, whether it is prime, and whether it is a multiple of \(\displaystyle x\). Dorothy said if she gave the answer to each of these questions, Ann would be able to figure out what number she had in mind. What is Dorothy's number?

(5 pont)

Deadline expired on October 11, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Készítsünk Venn-diagramot. Az első két halmaz elemeit (\(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 25\) közötti négyzetszámok, illetve prímszámok halmaza) beírhatjuk. Azt tudjuk, hogy a harmadik halmaz (\(\displaystyle x\) \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 25\) közé eső többszöröseinek halmaza) elemeinek beírása után keletkeznie kell olyan résznek (vagy akár többnek is), amelyben csak egyetlen szám áll, hiszen pont ez jelenti azt, hogy Dorka adhat olyan válaszokat Annának, amiből ő egyértelműen tudja azonosítani a gondolt számot.

Ha \(\displaystyle x = 2\) vagy \(\displaystyle 4\), akkor a prímszámokkal vett metszet üres, a négyzetszámokkal vett metszetben két szám van (\(\displaystyle 4\) és \(\displaystyle 16\)), a két halmazon kívüli elemek között szintén legalább \(\displaystyle 2\) szám van (pl. \(\displaystyle 8\) és \(\displaystyle 12\)), tehát ezeket nem választhatta Anna.

Ha \(\displaystyle x = 6\), akkor a prímszámokkal vett metszet üres, a négyzetszámokkal vett metszet is üres, a két halmazon kívüli elemek között viszont három darab \(\displaystyle 6\)-tal osztható szám is van, tehát ezt sem választhatta Anna.

Ha \(\displaystyle x = 8\), akkor a prímszámokkal vett metszet üres, és pontosan egy \(\displaystyle 8\)-cal osztható négyzetszám van a másik halmazban, a \(\displaystyle 16\).

Mivel más lehetőség nincs \(\displaystyle x\)-re, így Dorka a \(\displaystyle 16\)-ra gondolt.

Statistics:

281 students sent a solution.
5 points:	153 students.
4 points:	27 students.
3 points:	28 students.
2 points:	20 students.
1 point:	18 students.
0 point:	10 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2021