Problem K/C. 707. (November 2021)

K/C. 707. A few children (at least two) are standing around a circle. They are playing an ``elimination game'' as follows: counting from the starting player, every second child is eliminated from the circle. The player remaining in the circle alone will win the game. For example, if there are six players A, B, C, D, E, F and A starts then the players eliminated (in this order) are B, D, F, C, A. Thus the winner is E. With how many players can the starting player win the game?

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Eddig úgy tűnik, az első (A) akkor győzhet, ha a gyerekek száma 2, 4 vagy 8. Azt sejtjük, hogy az első (A) akkor győzhet, ha a gyerekek száma kettő hatvány. Ha a gyerekek száma kettő hatvány, akkor azért nyer az első (A), mert az első körben kiesik minden páros sorszámú gyerek (a gyerekek fele), tehát A játékban marad úgy, hogy ismét ő az első játékos. A gyerekek száma ekkor a kezdeti létszám fele, azaz ismét kettő hatvány. A következő kör(ök)ben hasonlóan történik minden, mint eddig és végül 2 gyerek marad, akik közül A az első, így ő lesz a győztes.

Ha a gyerekek száma nem kettő hatvány, akkor nem nyerhet az első (A). Ha kiesik néhány gyerek úgy, hogy a megmaradó gyerekek száma már kettő hatvány lesz, akkor az a gyerek fog győzni, aki az utolsó kieső után jön közvetlenül és ez a gyerek A nem lehet. Például, ha 13 gyerek van, akkor az első 5 kieső (B, D, F, H, J) után megmarad 8 gyerek és a J utáni játékos, K lesz a győztes.

Statistics:

232 students sent a solution.
5 points:	117 students.
4 points:	31 students.
3 points:	22 students.
2 points:	20 students.
1 point:	18 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2021